Beim "Aufleiten" - unbestimmten Integrieren - sind Substitution und partielle Integration die absoluten Hauptmethoden.
Wenn du diese Techniken nicht verwenden willst bzw. kannst, bleibt dir im wesentlichen nur übrig, durch vieles Differenzieren ein geübtes Auge zu bekommen, um Ausdrücke, die Ableitungen darstellen, schnell zu erkennen.
Integrieren wir also \(f(x)= 0.5xe^{x^2}\) nur durch "Gucken".
Wir wissen (und hoffentlich du spätestens ab jetzt auch), dass $$\left(e^{\text{irgendwas}}\right)' = (\text{irgendwas})'\cdot e^{\text{irgendwas}} $$
Also probieren wir mal, was rauskommt, wenn wir \(e^{x^2}\) ableiten:
$$\left(e^{x^2}\right)' = (x^2)'e^{x^2}= 2xe^{x^2}$$
Na das sieht doch fast aus wie die Funktion, die wir integrieren sollen.
Haben: \(2xe^{x^2} \Rightarrow\) Wollen: \( \underbrace{0.5}_{=\frac 12} xe^{x^2}\)
Es fehlt also nur ein Faktor, denn
$${\color{blue}{\frac 14\cdot}}2xe^{x^2} = \frac 12xe^{x^2} \Rightarrow \boxed{\left({\color{blue}{\frac 14\cdot}}e^{x^2}\right)' = \frac 12xe^{x^2}}$$
Wir haben also mit der Guckmethode gefunden:
$$\int 0.5xe^{x^2}\, dx = \frac 14e^{x^2} + C$$
