Aloha :)
Lass uns zuerst die Aufgabenstellung analysieren...
Gegeben ist die Funktion:$$g(x)=x^3-3x$$
Von dieser benötigen wir die Hoch- und Tiefpunkte:$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$$$$f''(x)=6x$$Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x=\pm1\). Wegen \(f''(1)=6>0\) und \(f''(-1)=-6<0\) liegt bei \(x=1\) ein Minimum und bei \(x=-1\) ein Maximum vor:$$T(1|-2)\quad;\quad H(-1|2)$$
Da es sich bei bei Hochpunkt und Tiefpunkt um Extremwerte handelt, ist die Steigung der Funktion an diesen beiden Punkte jeweils Null. Die Tangenten verlaufen daher parallel zur \(x\)-Achse und die Normalen parallel zur \(y\)-Achse.
Tangente an den Hochpunkt: \(y=2\)\(\quad;\quad\)Normale an den Tiefpunkt: \(x=1\).
Es geht also um die Fläche zwischen der roten, grünen und blauen Linie:
~plot~ (x^3-3x)*(x>=-1)*(x<=1) ; 2 ; x=1 ;[[-2|2|-3|3]] ~plot~
Man sieht schon mit bloßem Auge, dass diese Fläche gleich \(4\) ist, denn links von der y-Achse ist die Fläche oberhalb der blauen Kurve genauso groß wie die Fläche, die rechts von der y-Achse unterhalb der blauen Kurve von dem Rechteck abgenschnitten wird.
Mit der Integralrechnung bekommen wir immer die Flächen zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen. Daher ist die gesuchte Fläche rein rechnerisch:$$F=\underbrace{2-\left|\int\limits_{-1}^0g(x)\,dx\right|}_{\text{links der y-Achse}}+\underbrace{2+\left|\int\limits_0^1g(x)\,dx\right|}_{\text{rechts der y-Achse}}=2+2=4$$Da die Funktion \(g(x)\) punktsymmetrisch zum Urpsrung ist, sind die beiden Integrale betragsmäßig gleich groß und heben sich gegenseitig weg.
