Zeigen Sie, dass Sie die beiden Straßenstücke aus Beispiel 2.2

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass Sie die beiden Straßenstücke aus Beispiel 2.2

h:x→-x-1;x≤-2 und p:x→1,5x+2,x≥0 mit einer ganzrationalen Funktion r dritten Grades durch Interpolation verbinden können.

b) Stellen Sie die drei abschnittsweise definierten Funktionen graphisch dar.

c) Begründen Sie, warum die Interpolation durch eine ganzrationalen Funktion Dritten Grades möglich ist, während die Interpolation durch eine Funktion zweiten Grades nicht möglich ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann man die folgende Aufgabe richtig lösen?

Answer 1

Hallo,

die gegebenen Straßenstücke liefern vier Bedingungen für r(x):

r(-2)=h(-2)

r'(-2)=h'(-2)

r(0)=p(0)

r'(0)=p'(0)

Das geht mit einer Funktion dritten Grades

r(x)=ax³+bx²+cx+d

da hier vier Zahlen a,b,c und d gesucht sind.

Bei einer Funktion zweiten Grades sind es nur drei Unbekannte.

Answer 2

\(f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d\)

\(A(-2|-3)\)

\(f(-2)=a*(-2)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d\)

1.)

\(a*(-2)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d=-3\)

\(f´(x)=3a*x^2+2b*x+c\)

\(f´(-2)=3a*(-2)^2+2b*(-2)+c\)

2.)

\(3a*(-2)^2+2b*(-2)+c=1\)

\(B(0|2)\)

\(f(0)=a*0^3+b*0x^2+c*0+d\)

3.)

\(d=2\)

\(f´(0)=3a*0^2+2b*0+c\)

4.)

\(c=1,5\)

\(a≈-0,625\)    \(b≈-1,75\)  \(c=1,5\)   \(d=2\)

\(f(x)=-0,625*x^3-1,75*x^2+1,5*x+2\)

Comments

O je!! Ich bin bei meiner Zeichnung und Rechnung von y=x-1 statt von y=-x-1 ausgegangen.

Answer 3

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(-2) = 1
f'(-2) = -1
f(0) = 2
f'(0) = 1.5

Gleichungssystem

-8·a + 4·b - 2·c + d = 1
12·a - 4·b + c = -1
d = 2
c = 3/2

Errechnete Funktion

f(x) = - 0.125·x^3 + 0.25·x^2 + 1.5·x + 2 für -2 < x < 0

Das sieht dann wie folgt aus: