Das Wievielfache der blauen Fläche ist die Gesamtfläche?

Question

Oker, rot und gelb sind Quadrate, Blau und ABEF sind ähnlich. Rot/blau und ACDF sind ähnlich. Das Wievielfache der blauen Fläche ist die Fläche des Rechtecks ACDF?

Comments

Z.B. Blau und ABEF sind ähnlich ist nicht notwendig aber eine nette Zugabe um den Faktor 10+7*√2  zu berechnen.

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um den Faktor 10+7*√2  zu berechnen.

Mein Ergebnis ist doppelt so groß.

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Weil ich unter "blaue Fläche" alles Blaue (2 Rechtecke) verstanden habe.

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Upps...

Dann stimmen unsere Ergebnisse ja überein.

:-)

PS

Blau und ABEF sind ähnlich.

Das ist dann aber auch missverständlich formuliert.

;-)

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@Monty.: Da nur Figuren entsprechender Form ähnlich zueinander sein können und ABEF ein Rechteck ist, muss auch 'blau' ein Rechteck bezeichnen. Der Terminus 'blaue Fläche' den hj2166 einführte, kommt in meiner Aufgabe nicht vor. Auch können Flächenmaße nicht ähnlich zueinander sein. Man spräche dann von Flächenverhältnissen.

Answer 1

Die Seiten eines blauen Rechtecks seien x und y, der Flächeninhalt betrage xy=1.

Flächeninhalte:

blau: x•y=1

gelb: (x+y)^2

ocker: (x+3y)^2

rot: y^2

ACDF:

A=2xy + (x+y)^2 + (x+3y)^2 + 2y^2

=2xy+x^2+2xy+y^2+x^2+6xy+9y^2+2y^2

=10xy +2x^2+12y^2

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Ähnlichkeit:

y/x = (x+3y)/(x+y)

xy+y^2  = x^2 + 3xy

y^2 =x^2 +2xy =1/x^2     ;   da xy=1 und x^2 y^2 = 1

x^2 +2 = 1/x^2

x^2 = √(2) -1   ;   y^2 = √(2) +1

x≈0,64 ; y≈1,55

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A=10 +2√2-2 +12√2+12

A=20 + 14√2

Das ist der Faktor, um den das gesamte Rechteck größer ist als eines der blauen Rechtecke.

Answer 2

Von links unten nach oben:

Ein blaues Rechteck: 1 LE breit und 2 LE lang→   2 FE

Das rote Quadrat:      2 LE breit und 2 LE lang  →  4 FE

Das gelbe Quadrat:   3 LE breit und 3 LE lang  →  9 FE

Ein blaues Rechteck: 1 LE breit und 2 LE lang→  2 FE

Das oker Quadrat:      7 LE breit und 7 LE lang→  49  FE

Summe: 66 FE

2 blaue Flächen 4FE

\( \frac{66 FE}{4 FE}=16,5 \)

Comments

Schon das blaue Rechteck ist nicht doppelt so lang, wie breit.