Aloha :)
Ich schreibe einen Vektorpfeil über das \(\gamma\). Dadurch wird klarer, dass \(\vec\gamma(t)\) der Aufenthaltsort eines Teilchens zum Zeitpunkt \(t\) ist:$$\vec\gamma(t)=\binom{t^2}{t^3}$$
Der Tangentenvektor ist die Geschwindigkeit \(\vec v(t)\) des Teilchens zum Zeitpunkt \(t\). Zur Berechnung leiten wir jede Komponeten von \(\vec\gamma(t)\) unabhängig von den anderen nach der Zeit \(t\) ab:$$\vec v(t)=\frac{d}{dt}\vec\gamma=\frac{d}{dt}\binom{t^2}{t^3}=\binom{2t}{3t^2}$$
Die Bogenlänge \(\ell\) ist die Strecke, die das Teilchen in der Zeit von \(t=a\) bis \(t=b\) bzw. vom Ort \(\vec\gamma(a)\) zum Ort \(\vec\gamma(b)\) zurückgelegt hat. Da der Tangentenvektor \(\vec v(t)\) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\) angibt, bewegt sich das Teilchen in einer winzigen Zeitspanne \(dt\) um den winzigen Vektor \((\vec v\cdot dt)\) weiter. Wir brauchen also nur die Beträge dieser winzigen Vektoren zu summieren, um die Bogenlänge zu erhalten.
$$\ell=\int\limits_a^b\left\|\vec v\cdot dt\right\|=\int\limits_a^b\left\|\binom{2t}{3t^2}\right\|\,dt=\int\limits_a^b\sqrt{(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\int\limits_a^b\sqrt{4t^2+9t^4}\,dt$$$$\phantom\ell=\int\limits_a^bt\sqrt{4+9t^2}\,dt=\frac{1}{18}\int\limits_a^b18t\cdot\left(\pink{4+9t^2}\right)^\frac12\,\green{dt}$$
Wir konnten den Integranden so umgeformen, dass die Ableitung \(18t\) der inneren Funktion (pink dargestellt) als Faktor auftaucht. Solche Integrale sind immer ein Kandidat für die Substitutions-Methode. Daher setzen wir$$\pink{u(t)\coloneqq4+9t^2}\implies\frac{du}{dt}=18t\implies \green{dt=\frac{du}{18t}}$$dabei werden die Integrationsgrenzen zu$$u(a)=4+9a^2\quad;\quad u(b)=4+9b^2$$und unser Integral vereinfacht sich sehr stark:$$\ell=\frac{1}{18}\int\limits_{4+9a^2}^{4+9b^2}18t\cdot\pink u^{\frac12}\,\green{\frac{du}{18t}}=\frac{1}{18}\int\limits_{4+9a^2}^{4+9b^2}u^{\frac12}\,du=\frac{1}{18}\left[\frac{u^{\frac32}}{\frac32}\right]_{4+9a^2}^{4+9b^2}$$$$\phantom\ell=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\left((4+9b^2)^{\frac32}-(4+9a^2)^\frac32\right)=\frac{1}{27}\cdot\left((4+9b^2)^{\frac32}-(4+9a^2)^\frac32\right)$$
