Der Parabelast mit der Gleichung f(x)=ax2; x≥0, a>0 und der Graph der Umkehrfunktion schließen eine Fläche F ein, die ganz im Inneren einer Quadratfläche Q liegt, deren Diagonale die beiden Schnittpunkte der Graphen verbindet. Welchen Flächenanteil hat F an Q?
Fehlt da nicht a>0?
Ja, danke. Hab's ergänzt.
Hallo,
die Schnittpunkte liegen bei (0|0) und (1/a|1/a).
Für die gesuchte Fläche A gilt:
A/2 = A_Dreieck - A_unter_f(x)
A_Dreieck = ½•(1/a)^2
A_unter_f(x) = ⅓•a•(1/a)^2 =⅓•(1/a)^2
A/2 = ⅙•(1/a)^2
A=⅓ •(1/a)^2
Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/a wird in drei gleich große Flächen aufgeteilt.
https://www.desmos.com/calculator/rlgtoiuuwu
f^(-1)(x):
y=ax^2
x^2= y/a
x= +-√(y(a)
Die negative Lösung entfällt.
f^(-1)(x) = √(x/a)
Schnittpunkt bestimmen:
ax^2 = (x/a)^0,5
a^2 x^4= x/a
a^2 x^4-x/a =0
x(a^2 x^3-1/a) =0
x= 0
a^2 x^3=1/a
x= (1/a^3)^(1/3) = 1/a
Fürs Integrieren zur Orientierung:
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2+%3D%28x%2F2%29%5E0.5
Und wo ist die Antwort auf die gestellte Frage?
Der Rest ist Eigenleistung.
@ggT22
Das ist doch wieder eine Spezialaufgabe von Roland.
☺
Ich gestehe, den Namen hier nicht gelesen zu haben.
Du hast Recht: typisch Rolandinisch
und ich habe keine Lust weiterzumachen.
Du schaffst das sicher locker.
Schon erledigt.
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