Welchen Flächenanteil hat F an Q?

Question

Der Parabelast mit der Gleichung f(x)=ax²; x≥0, a>0 und der Graph der Umkehrfunktion schließen eine Fläche F ein, die ganz im Inneren einer Quadratfläche Q liegt, deren Diagonale die beiden Schnittpunkte der Graphen verbindet. Welchen Flächenanteil hat F an Q?

Comments

Fehlt da nicht a>0?

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Ja, danke. Hab's ergänzt.

Answer 1

Hallo,

die Schnittpunkte liegen bei (0|0) und (1/a|1/a).

Für die gesuchte Fläche A gilt:

A/2 = A_Dreieck - A_unter_f(x)

A_Dreieck = ½•(1/a)^2

A_unter_f(x) = ⅓•a•(1/a)^2 =⅓•(1/a)^2

A/2 = ⅙•(1/a)^2

A=⅓ •(1/a)^2

Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/a wird in drei gleich große Flächen aufgeteilt.

Answer 2

f^(-1)(x):

y=ax^2

x^2= y/a

x= +-√(y(a)

Die negative Lösung entfällt.

f^(-1)(x) = √(x/a)

Schnittpunkt bestimmen:

ax^2 = (x/a)^0,5

a^2 x^4= x/a

a^2 x^4-x/a =0

x(a^2 x^3-1/a) =0

x= 0

a^2 x^3=1/a

x= (1/a^3)^(1/3) = 1/a

Fürs Integrieren zur Orientierung:

https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2+%3D%28x%2F2%29%5E0.5

Comments

Und wo ist die Antwort auf die gestellte Frage?

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Der Rest ist Eigenleistung.

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@ggT22

Das ist doch wieder eine Spezialaufgabe von Roland.

☺

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Ich gestehe, den Namen hier nicht gelesen zu haben.

Du hast Recht: typisch Rolandinisch

und ich habe keine Lust weiterzumachen.

Du schaffst das sicher locker.

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Du schaffst das sicher locker.

Schon erledigt.

☺