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Aufgabe:

Es sei $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ eine Folge mit 1<a_1<2 die rekursiv definiert ist durch

$$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2$$


1. Zeige, dass für alle $$n \in \mathbb{N}$$ gilt 1<a_n<2

2. Zeige, dass a_n monoton fallend ist

3. Bestimme den Grenzwert von a_n

Problem/Ansatz:

zur 1 weiß ich leider nichts.


Bei der 2 würde ich durch 1/2 teilen

dann hätte ich $$a_{n+1}=1/2a_n^2-a_n+1$$

Darf ich das tun?

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(1)

Hier ist ein Induktionsbeweis ein probates Mittel. Der Induktionsanfang ist per Definition erfüllt: \(1<a_1 <2\).

Induktionsschritt \(n\rightarrow n+1\):

Sei also \(1<a_n <2\). Zu zeigen ist, dass daraus \(1 <a_{n+1} < 2\) folgt.

Dafür ist es hilfreich, etwas umzuformen:

\(a_{n+1} = a_n^2-2a_n + 2= (a_n - 1)^2 + 1\)

Nun erhält man

\(1<a_n <2 \)

\(\Rightarrow 0 < a_n -1 < 1\)

\(\Rightarrow 0 < (a_n -1)^2 <1\)

\( \boxed{\Rightarrow1 <  \underbrace{(a_n -1)^2 + 1}_{= a_{n+1}}  < 2}\)

(2)

Zu zeigen ist, dass

\(a_{n+1} \leq a_n \Leftrightarrow a_{n+1} - a_n \leq 0\).

Nun gilt

\(a_{n+1}-a_n\)

\( = a_n^2-2a_n + 2 - a_n\)

\( = a_n^2-3a_n + 2 \)

\(= \boxed{(a_n -1)(a_n - 2) \stackrel{1<a_n<2}{<} 0}\)

Denn für \(1<a_n<2\) ist \((a_n -1) > 0\) und \((a_n -2) <0\).

Avatar von 11 k

Super, Danke trancelocation!!

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Hello,

1) Induktion und Voraussetzung verwenden

2) Monotonie durch Induktion zeigen und zwar bezüglich an+1 ≤ an

3) Die Grenzwerte von an+1 und an sind identisch. Einfach durch a ersetzen und P-Q-Formel

Avatar von 1,7 k

Lautet die erste Zeile mit dem Grenzwert dann


$$a=a^2-2a+2$$ und dann hier p-q-Formel?

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