(1)
Hier ist ein Induktionsbeweis ein probates Mittel. Der Induktionsanfang ist per Definition erfüllt: \(1<a_1 <2\).
Induktionsschritt \(n\rightarrow n+1\):
Sei also \(1<a_n <2\). Zu zeigen ist, dass daraus \(1 <a_{n+1} < 2\) folgt.
Dafür ist es hilfreich, etwas umzuformen:
\(a_{n+1} = a_n^2-2a_n + 2= (a_n - 1)^2 + 1\)
Nun erhält man
\(1<a_n <2 \)
\(\Rightarrow 0 < a_n -1 < 1\)
\(\Rightarrow 0 < (a_n -1)^2 <1\)
\( \boxed{\Rightarrow1 < \underbrace{(a_n -1)^2 + 1}_{= a_{n+1}} < 2}\)
(2)
Zu zeigen ist, dass
\(a_{n+1} \leq a_n \Leftrightarrow a_{n+1} - a_n \leq 0\).
Nun gilt
\(a_{n+1}-a_n\)
\( = a_n^2-2a_n + 2 - a_n\)
\( = a_n^2-3a_n + 2 \)
\(= \boxed{(a_n -1)(a_n - 2) \stackrel{1<a_n<2}{<} 0}\)
Denn für \(1<a_n<2\) ist \((a_n -1) > 0\) und \((a_n -2) <0\).
