Aloha :)
zu a) Das erste Integral ist ein Standardintegral, du kennst es bestimmt von Partialbruchzerlegungen:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$Damit wir dieses Standardintegral anwenden können, müssen wir ein wenig Umformungsarbeit leisten:$$I=\int\limits_0^2\frac{1}{4+x^2}\,dx=\int\limits_0^2\frac{1}{4\left(1+\left(\frac x2\right)^2\right)}\,dx=\pink{\frac12\int\limits_0^2\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\cdot\frac12dx}$$Du kannst nun \(u\coloneqq\frac x2\) substutuieren. Dann ist \(\frac{du}{dx}=\frac12\) bzw \(du=\frac12dx\), sodass$$I=\frac12\int\limits_0^1\frac{1}{1+u^2}\,du=\frac12\left[\arctan u\right]_0^1=\frac12\left(\frac\pi4-0\right)=\frac\pi8$$Als erfahrene Mathematikerin "siehst" du in dem pinken Ausdruck aber natürlich sofort, dass \(d(\frac x2)=\frac12dx\) und führst die Substitution implizit aus, indem du über \(\frac x2\) integrierst:$$I=\frac12\int\limits_0^2\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,d\left(\frac x2\right)=\frac12\left[\arctan\left(\frac x2\right)\right]_0^2=\frac12\left(\frac\pi4-0\right)=\frac\pi8$$
zu b) Ich habe dir die zweite Methode absichtlich gezeigt, weil du damit sehr leicht Integrale "knacken" kannst, bei denen die innere Ableitung einer Funktion als Faktor vorkommt. Die innere Funktion ist \(\ln(x)\) und ihre Ableitung ist \(\frac1x\). Weiter ist \(\frac{d(\ln x)}{dx}=\frac1x\) bzw. \(d(\ln x)=\frac1x\,dx\) :$$I=\int\limits_1^e\frac{\sqrt{\ln x}}{x}\,dx=\int\limits_1^e(\ln x)^{\frac12}\cdot\frac 1x\,dx=\int\limits_1^e(\ln x)^{\frac12}\,d(\ln(x))=\left[\frac23(\ln x)^\frac32\right]_1^e=\frac23$$
Du kannst hier natürlich auch wieder substituieren:$$u\coloneqq\ln(x)\implies\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\implies du=\frac{dx}{x}\quad;\quad u(1)=0\;;\;u(e)=1$$Dann lautet die Rechung:$$I=\int\limits_1^e\frac{\sqrt{\ln x}}{x}\,dx=\int\limits_1^e(\ln x)^{\frac12}\,\frac{dx}{x}=\int\limits_0^1u^{\frac12}\,du=\left[\frac23u^{\frac32}\right]_0^1=\frac23$$
