Wir haben folgende Situation:$$g(s,t) = (f\circ h)(s,t)$$ mit $$(x,y) = h(s,t) = (s+t,e^{s+t}+t)$$Gegeben sind $$\nabla f(0,1) = (1\:\:1),\: H_f(0,1) =\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$Außerdem gilt \(g(0,0) = (0,1)\).
Ich bezeichne die partiellen Differentialoperatoren nach s und t mit \(\partial_s, \: \partial_t,\: \partial_{ts}\) etc.. Gradient und Hessematrix von f sind immer in Bezug auf (x,y).
Gesucht ist \(\partial_{ts}g(0,0)\) mit \(\partial_{ts}g = \partial_t(\partial_s(f\circ h))\).
$$\partial_s(f\circ h) \stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \nabla f \cdot \partial_s h$$$$\partial_t(\nabla f \cdot \partial_s h) \stackrel{\text{Produktregel}}{=} \partial_t(\nabla f)\cdot \partial_s h + \nabla f \cdot \partial_{ts}h$$$$\stackrel{\text{Kettenregel}}{=}(\partial_t h)^{T}H_f \partial_s h + \nabla f \cdot \partial_{ts}h$$Jetzt brauchen wir nur noch$$\partial_s h = \partial_s\begin{pmatrix}s+t\\e^{s+t}+t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\e^{s+t}\end{pmatrix}$$$$\partial_t h = \partial_t\begin{pmatrix}s+t\\e^{s+t}+t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\e^{s+t} + 1\end{pmatrix}$$$$\partial_{ts} h = \partial_{t}\begin{pmatrix}1\\e^{s+t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\e^{s+t}\end{pmatrix}$$Einsetzen:$$\partial_{ts}g(0,0) = \begin{pmatrix}1 & e^{0+0} + 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\e^{0+0}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\e^{0+0}\end{pmatrix}$$$$= 6+1 = 7$$
