Stammfunktion als Potenzreihe und als elementare Funktion darstellen

Question

Aufgabe:

a) Stelle die Stammfunktion F von f mit F (0)= 0 zunächst als Potenzreihe und dann als elementare Funktion dar.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n}} x^{n} \)

b) Bestimme hieraus eine Darstellung von f als elementare Funktion.

Answer 1

Durch gliedweise Integration der Potenzreihe$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^n}x^n$$erhält man$$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^n}\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}=x\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{x}{2})^n$$Die Summe ist eine geometrische Reihe mit \(q=x/2\). Also ist$$F(x)=x\cdot\frac{1}{1-(x/2)}=\frac{2x}{2-x}$$also$$f(x)=F'(x)=\frac{4}{(2-x)^2}$$ (ohne Gewähr !)