Die Punkte A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks...

Question

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \( A(0|-2| 1), B(3|4| 3), C(5|2| 6) \) und der von \( \mathrm{k} \) abhängige Punkt \( \mathrm{P}_{\mathrm{k}}(1+\mathrm{k}|1-5 \mathrm{k}| 1+3 \mathrm{k}) \) gegeben \( (\mathrm{k} \in \mathbf{R}) \)

Die Punkte \( A, B \) und \( C \) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse des Dreiecks ABC sowie die Größe des Winkels \( \angle\mathrm{ACB} \)

Verwandt mit: https://www.mathelounge.de/101523/bestimmen-sie-einen-punkt-dass-das-viereck-abcd-ein-rechteck

Answer 1

AB = [3, 4, 3] - [0, -2, 1] = [3, 6, 2]

AC = [5, 2, 6] - [0, -2, 1] = [5, 4, 5]

BC = [5, 2, 6] - [3, 4, 3] = [2, -2, 3]

AB·BC = [3, 6, 2]·[2, -2, 3] = 0 --> Bei B ist daher ein rechter Winkel

|AC| = |[5, 4, 5]| = √(5^2 + 4^2 + 5^2) = √66 = 8.124

|AB| = |[3, 6, 2]| = √(3^2 + 6^2 + 2^2) = 7

γ = ARCSIN(|AB| / |AC|) = ARCSIN(7 / √66) = 59.50°