Kombinatorik: nächste Zahl größer oder gleich

Question

Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man einen Würfel 4 mal wirft, und die nächste Zahl größer oder gleich der vorherigen sein muss?

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Was heißt das jetzt ?
Aufsteigende Viererreihe ?

1-2-3-4
oder
2-4-5-6
usw ?

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die zweite Zahl muss gleich oder groesser als die erste sein, die dritte Zahl muss gleich oder groesser als die 2. sein, die 4. Zahl muss gleich oder groesser als die 3. sein.

Answer 1

Es gibt:

1234, 1235,1236,1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2356, 2456, 3456

Ich komme auf 14 Möglichkeiten.

Comments

Was könnte kimbunatorisch gegen 2346 oder 2344 sprechen tun? (Nachtrag: drittes Wort meiner rhetorischen Frage machte nur Sinn vor der mittlerweile erfolgten Veränderung des Titels)

Vielleicht würde 6⁴ minus Anzahl der Gegenereignissse Sinn machen.

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Falsch, erstens hast du 2346 vergessen, und dann alle mit gleich, also 1111, 1122 etc

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Was würde kimbunatorisch gegen 2346 oder 2344 sprechen tun?

Nichts, außer meine Nachlässigkeit. Gegen 2344 die Aufgabenstellung.

Danke.

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Das gelbe Geschenkpapier hat er auf meiner Bananenplantage geklaut.

Gegen 2344 die Aufgabenstellung.

Ich lese dort "groesser oder gleich der vorherigen" und vertrete die Ansicht, dass 4 größergleich 4.

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Hallo Doeschwo, und wie errechnest du das Gegenereignis?

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Ja, 2344 ist eine der Moeglichkeiten.

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6543 6542 6541 6532 6531 6521 6432 6431 6421 6321 5432 5431 5421 5321 4321

wie errechnest du das Gegenereignis?

Man soll nicht das Gegenereignis errechnen, sondern die Gegenereignisse abzählen. Darum schrieb ich "Anzahl der Gegenereignissse".

Das gäbe dann 1281 anstatt 14 Möglichkeiten.

Für das erste Prolog-Programm zu dieser Aufgabe stifte ich eine Banane.

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Falsch, denn 1243 waere auch ein Gegenereignis

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Beim Teutates, fürwahr!

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Sorry, ich habe "gleich" überlesen.

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Es gibt 1170 Gegenereignisse.

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Wie berechnet? Ist das jetzt die Loesung oder muss das von 6! abgezogen werden?

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Wie berechnet? Ist das jetzt die Loesung

Dort steht das es 1170 Gegenereignisse gibt. Also ist das nicht die Lösung es sei denn die Anzahl der Ereignisse und gegenereignisse sind gleich.

oder muss das von 6! abgezogen werden?

Wenn es 6! Ereignisse insgesamt geben würde, dann ja aber es gibt nicht 6! Ereignisse.

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Es gibt 1170 Gegenereignisse.

Also war meine Idee nicht so zielführend.

Answer 2

Der Kommentar sollte eigentlich die Qualität des Vorschlags "Gegenereignis" demonstrieren.

Deine gesuchte Anzahl ist  \( \sum\limits_{a=1}^{6} \sum\limits_{b=a}^{6} \sum\limits_{c=b}^{6} \sum\limits_{d=c}^{6}1=\begin{pmatrix} 6+4-1\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\4 \end{pmatrix}=126 \) 

Comments

Zur Generierung der 4 Zahlen zieht man zum Beispiel aus einer Urne mit 6 Kugeln 4 mal mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Das ergibt nach obiger Formel 126 Möglichkeiten.

Answer 3

Ich ergänze mal diese Antwort noch, damit der Kommentar von Mathecoach nicht untergeht.

Wir suchen Multisets ("Mengen", in denen Elemente mehrfach vorkommen können) der Größe 4. Die Elemente der Multisets sind natürliche Zahlen von 1 bis 6.

Jeder dieser Multisets hat genau eine nicht-fallende Anordnung.

Wir suchen also die Anzahl der Multisets, wenn man k=4 Elemente aus n=6 Elementen (mit Wiederholung) auswählt.

Das ist die sogenannte Kombination mit Wiederholung von k=4 aus n=6 Elementen:

$$\binom{n+k-1}{k} = \binom 94 = 126$$