Sind diese Ringe Integritätsbereiche?

Question

$$\text{ Betrachten Sie die Ringe } R_1 = \mathbb Z /7\mathbb Z \text{ und } R_2= \mathbb C[X]/(X^2-1). \text{ Sind diese Ringe Integritätsbereiche? }$$

$$\text{ Beantworte die Aufgabe entweder durch einen Beweis oder durch Angabe eines Nullteilers.}$$

Integritätsbereich bedeutet doch, dass der Ring als einzigen Nullteiler die 0 hat? Oder muss man noch etwas anderes zeigen? und wie kann man das machen?

Answer 1

\(R_2\) besitzt Nullteiler \(\neq 0\); denn

\((X+1)(X-1)=X^2-1\equiv 0\) mod \(X^2-1\), aber

\((X^2-1)\not | \; (X+1) \; \wedge \;  (X^2-1) \not | \; (X-1)\)

Comments

Super, danke! Nach ein bisschen Recherche glaube ich, dass R1 ein Integritätsbereich ist. Wie kann ich das zeigen?

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\(Z/pZ\) ist für jede Primzahl p sogar ein Körper.

Forsche ruhig ein bisschen im Internet.

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mache ich :) noch eine Frage: was genau bedeutet der durchgestrichene vertikale Strich in der letzten Zeile?

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\(a\not | \;  b\) bedeutet "\(a\) ist kein Teiler von \(b\)".