Nilpotente Matrizen haben nur den Eigenwert 0. Insb. sind alle Kästchen bereits Kästchen zum EW 0.
Die Kästchen haben maximal Größe 3. Also kann man die Matrizen über Tripel
(a, b, c)
beschreiben. Wobei a die Anzahl der 1x1 Kästchen, b die Anzahl der 2x2 Kästchen und c die Anzahl der 3x3 Kästchen ist. Die Summe
1*a + 2*b + 3*c
entspricht dann der Größe der Matrix
Wir idenfizieren jetzt A mit (a,b,c) und B mit (x,y,z).
A und B sollen nicht ähnlich sein => Es muss \( (a,b,c) ≠ (x,y,z) \) gelten.
Nilpotente nxn Matrizen haben char. Poly. \( \lambda^n \). (n ist insb. die alg. Vielfachheit von 0)
Wenn A und B dasselbe char. Poly. haben (bzw. 0 dieselbe alg. Vielfachheit) müssen die Matrizen A und B also gleich groß sein => \( 1a+2b+3c = 1x+2y+3z \)
Die geom. Vielfachheit von 0 entspricht der Anzahl der Kästchen.
Wenn A und B gleiche geom. Vielfachheit haben => \( a+b+c=x+y+z \)
(Der Rang ist n - Anzahl Kästchen, das führt zur gleichen Bedingung)
Hat eine nilpotente nxn Matrix das MiPo \( \lambda^k \), bedeutet das, dass das größte Kästchen kxk groß ist.
A und B haben selbes MiPo => die jew. größten Kästchen sind gleich groß.
Betrachten muss man also nur Tripelpaare der Form
(a,0,0) und (x,0,0) mit a,x > 0
oder
(a,b,0) und (x,y,0) mit b,y > 0
oder
(a,b,c) und (x,y,z) mit c,z > 0.
Geh jetzt nacheinander die 3 Fälle durch und suche nach Tripeln, die
a+b+c = x+y+z
a+2b+3c = x+2y+3z
erfüllen. Wenn du welche findest, überprüfe ob darunter Tripel mit
(a,b,c) ≠ (x,y,z)
sind.
