Aloha :)
Mathhilf hat mich darauf hingwiesen, dass ich das Fakultätszeichen übersehen habe.
Mit Fakultätszeichen ist die Abschätzung sehr einfach...
=== NEUE ANTWORT ===
$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\implies e^x\ge\frac{x^n}{n!}\stackrel{x=n}{\implies}e^n\ge\frac{n^n}{n!}\implies n!\ge\left(\frac ne\right)^n\implies\sqrt[n]{n!}\ge\frac ne\to\infty$$
=== ALTE ANTWORT ===
Mit dem binomischen Lehrsatz folgt:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$
Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen und zur Abschätzung alle anderen Summanden einfach weglassen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}$$
Damit haben wir ein Sandwich gefunden:$$1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac2n}\quad\text{für }n\ge2$$Für \(n\to\infty\) konvergiert \(\sqrt[n]{n}\) also gegen \(1\).
