Hallo,
das lineare Gleichungssystem entstammt doch einer Steckbriefaufgabe mit der Vorgabe:$$f(1)=f'(1)=f''(1)=0, \quad f(-2)=\frac{9}{2}, \quad f'(-2)=0$$man kann sich die Lösung wesentlich vereinfachen, wenn man sich zu Hilfe macht, dass in \(x=1\) der Funktionswert und erste und zweite Ableitung gegeben sind. Daher tut man sich leicht mit dem Ansatz:$$f(x)=k_4(x-1)^4 + k_3(x-1)^3 + k_2(x-1)^2 + k_1(x-1) + k_0$$aus \(f(1)=f'(1)=f''(1)=0\) folgt sofort:$$k_0 = k_1 = k_2 = 0$$es verbleibt$$f(x)=k_4(x-1)^4 + k_3(x-1)^3$$mit den beiden Bedingungen \(f(-2)=9/2\) und \(f'(-2)=0\) folgt:$$\begin{aligned}81k_4 - 27k_3 &= \frac{9}{2} \\ -109k_4 + 27k_3 &= 0\end{aligned}$$nach Addition der beiden Gleichungen folgt sofort \(k_4=-1/6\) und dann sollte die Berechnung von \(k_3=-2/3\) auch kein Problem mehr sein.
Der Graph sieht so aus:
Jetzt muss man$$f(x)=-\frac{1}{6}\left(x-1\right)^{4}-\frac{2}{3}\left(x-1\right)^{3}$$"nur noch" in die Normalform bringen. Zur Kontrolle:\(f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^{4}+x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{1}{2}\) und somit:$$a=-\frac{1}{6},\quad b=0, \quad c=1,\quad d=-\frac{4}{3}, \quad e=\frac{1}{2}$$
Gruß Werner
