Zeigen Sie, dass Corr(X, Y) >= 0

Question

Hallo, ich habe momentan bei folgender Aufgabe ein paar Probleme. Aufgabenteil a) habe ich bereits gezeigt, bei Aufgabenteil b) komme ich allerdings nicht voran. Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte. Vielen Dank im Voraus.

Text erkannt:

Aufgabe 2. Sei \( \Omega \) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und seien \( X, Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) Zufallsvariable mit \( V(X)>0 \) und \( V(Y)>0 \), außerdem existierenden \( E\left(X^{2}\right) \) und \( E\left(Y^{2}\right) \).
(a) Seien zusätzlich \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a \neq 0 \). Zeigen Sie, dass
\( \operatorname{Corr}(X, a \cdot X+b)=\left\{\begin{array}{l} 1 \quad \text { falls } a>0, \\ -1 \text { falls } a<0 . \end{array}\right. \)
Hinweis: Wir haben den Beweis bereits in der Vorlesung andiskutiert.
(b) Gelte nun \( Y \geq 0, E(X)=E(-X) \) und \( Y(\omega)=0 \) für alle \( \omega \in X^{-1}((-\infty, 0)) \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Corr}(X, Y) \geq 0 \).

Comments

Aufgabenteil a) habe ich bereits gezeigt

Dann sei so nett, und zeige es, um es den Hilfswilligen einfacher zu machen.

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a)

Corr(X, a ∙ X + b) =\( \frac{Cov(X, a · X + b)}{(X) · (a · X + b)} \)

Wir betrachten zunächst den oberen Teil:

Cov(X, a ∙ X + b) = E(X ∙ (a ∙ X + b)) − E(X) ∙ E(a ∙ X + b)

= E(a ∙ X² + b ∙ X) − E(X) ∙ E(a ∙ X + b)

= a ∙ E(X²) + b ∙ E(X) − a ∙ E(X)² − b ∙ E(X)

= a ∙ (E(X²) − E(X)²)

= a ∙ V(X)

Nun betrachten wir den unteren Teil:

(X) ∙ (a ∙ X + b) = \( \sqrt{V(X)} \)  ∙ \( \sqrt{V(a · X + b)} \)  = \( \sqrt{V(X)} \) ∙ \( \sqrt{a^{2} · V(X)} \)

= \( \sqrt{a^{2} · V(X)^{2}} \)  = |a| ∙ V(X)

Damit gilt dann:

Corr(X, a ∙ X + b) = \( \frac{a · V(X)}{|a| · V(X)} \)

Wenn nun a > 0, gilt

Corr(X, a ∙ X + b) =  \( \frac{a · V(X)}{|a| · V(X)} \)= 1

Wenn aber a < 0, gilt

Corr(X, a ∙ X + b) =  \( \frac{-a · V(X)}{|a| · V(X)} \) = -1

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Mir ist gerade aufgefallen, dass das σ verschwunden ist. Der Beweis sieht natürlich folgendermaßen aus:

Answer 1

Zu (b):

$$E(X) = E(-X) = -E(X) \Rightarrow E(X) = 0$$

Nun benutzt du die Formel $$Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)$$.

Da \(E(X) = 0\) gilt, folgt

$$Cov(XY) = E(XY)$$

Laut Definition des Erwartungswertes gilt

$$E(XY) = \int_{\Omega}(XY)(\omega)\, dP(\omega)$$

Nun zerlege

$$\Omega = X^{-1}(-\infty,0) \cup X^{-1}[0,+\infty)$$

Beachte, dass laut Voraussetzung \(Y(\omega) = 0\) für \(\omega \in X^{-1}(-\infty,0)\). Damit gilt

$$E(XY) = \int_{X^{-1}(-\infty,0)}\underbrace{(XY)(\omega)}_{(XY)(\omega) = 0}\, dP(\omega) + \int_{X^{-1}[0,+\infty)}\underbrace{(XY)(\omega)}_{(XY)(\omega)\geq 0}\, dP(\omega) \geq 0$$