Bestimmen Sie den Rand der gegebenen Menge M

Question

Aufgabe:

Sei M := { \( \vec{z} \) ∈ R²  | -1 ≤ z₁ < 1 } Bestimmen Sie den Rand von M ( mit Begründung ). Ist die Menge M offen bezüglich der Metrik d ? Ist sie abgeschlossen bezüglich der Metrik d ? Begründen Sie kurz ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Hallo

bräuchte nun wieder Hilfe bei einer Aufgabe. Es geht um Metriken und um die Bestimmung des Rands einer Menge. Also zur Bestimmung vom Rand müsste gelten:

-1 ≤ z₁  < 1

oo < z₂ < oo

...

Metrik ist noch Neuland und es fehlt genau jetzt der Schritt. Würde mich über einen Tipp freuen.

LG

Comments

Hast du dir die Menge mal aufgezeichnet? Was vermutest du anhand der Zeichnung? Was soll überhaupt \(d\) für eine Metrik sein?

Was soll

Also zur Bestimmung vom Rand müsste gelten:

-1 ≤ z1  < 1
oo < z2 < oo

eigentlich bedeuten? Das stimmt so nicht, z.B. ist \(z=(1,0)\) ein Randpunkt aber \(z_1=1\)

---

d(\( \vec{x} \) , \( \vec{y} \)) = 2| x₁  - y₁ | + 3 | x₂ - y₂ | wobei x₁,x₂.y_1,y₂ ∈ R

---

-1 ≤ z1  < 1
oo < z2 < oo

Es soll bedeuten : Die einzelnen Vektorkoordinaten als Intevall dargestellt.

---

Okay, aber wieso schreibst du "Also zur Bestimmung vom Rand müsste gelten:"? Das ist doch einfach die Beschreibung der Elemente in \(M\) und hat mit dem Rand erstmal wenig zu tun. Und kannst du die anderen Fragen mittlerweile beantworten?

---

Ja aber KP ob es stimmt.

Ein Randpunkt muss nicht in der Menge liegen, d.h.

z1 hat die "Randpunkte" ( weiss nicht genau wie man es jetzt definiert) -1 und 1.

Dabei ist -1 in M und 1 ist nicht in M.

z2 ist in (-oo, oo) und hat deswegen keine Randpunkte. Dann ist die Menge doch weder offen noch abgeschlossen oder?

---

Was sind \(z_1, z_2\)? Falls das die Koordinaten eines \(z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2\) sein sollen, ergibt es keinen Sinn von den Randpunkten von \(z_1, z_2\) zu sprechen, wenn man den Rand von \(M\) untersuchen will. Wie ist ein Randpunkt denn definiert?

-1 in M und 1 ist nicht in M.

\( M \) ist eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\). Was meinst du also mit  "-1 ist in M"?

---

Im R^2 ist ein Randpunkt definiert durch den entsprechenden Epsilon-Ball, welcher dann Punkte in M und in R^2/M hat.

Mit -1 sollte also folgendes gemeint sein (?) :

\( \begin{pmatrix} -1\\y\\ \end{pmatrix} \) und y ist beliebig

Ich verstehe nicht wie ich den gesamten Rand beschreiben soll

Answer 1

Hallo,

Im R2 ist ein Randpunkt definiert durch den entsprechenden Epsilon-Ball, welcher dann Punkte in M und in R2/M hat.

das ist keine saubere Definition!

Es ist \(x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\) ein Randpunkt von \(M\), falls \(\forall r > 0\) gilt: \( B_d(x,r)\cap M \neq \emptyset \) und \(B_d(x,r)\cap M^C \neq \emptyset\).

Hier ist \(B_d(x,r) = \lbrace{y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2 \,:\, 2 |x_1-y_1| + 3|x_2-y_2| < r \rbrace} \)

Wenn du dir die Menge mal aufgezeichnet hättest und verstanden hättest wie eine offene Kugel bzgl. \(d\) aussieht, würdest du vermuten, dass \(\partial M = \lbrace{z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2\, : \, z_1 = 1\lor z_1 = -1\rbrace} \)

In der Tat, angenommen \(z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2\) mit \(z_1 = 1\) und \(r>0\). Dann ist \((1-r/4,z_2)\in B_d(z,r)\cap M\) (nachrechnen!) und \((1+r/4,z_2)\in B_d(z,r)\cap M^C\), also \(z\) ein Randpunkt von \(M\). Analog falls \(z_1=-1\).

Damit ist erstmal gezeigt, dass \( \lbrace{z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2\, : \, z_1 = 1\lor z_1 = -1\rbrace} \subseteq\partial M\). Die Idee ist bei der anderen Richtung ähnlich. Nimm z.B. an \(z\notin\partial M \) und zeige \(z\notin \lbrace{z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2\, : \, z_1 = 1\lor z_1 = -1\rbrace}\). Das zeigt dann die andere Teilmengenrelation.

Da eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn sie ihren Rand enthält und genau dann offen ist, wenn sie zu ihrem Rand disjunkt ist, ist \(M\) weder offen noch abgeschlossen.

Comments

hallo,

entschuldige dass ich nochmals fragen muss, berechnet man die z ∉ ∂M indem man die Epsilon Bälle definiert? Also ich wollte noch zeigen das alle restlichen Punkte nicht im Rand enthalten sind...

LG

---

Hallo,

du solltest lernen etwas konkreter zu beschreiben, was du meinst.

Was soll denn etwa

indem man die Epsilon Bälle definiert

bedeuten? Von welchen Epsilon Bällen sprichst du? Und was willst du da definieren?

Vielleicht solltest du einfach mal anfangen etwas selber zu tun:

Was bedeutet denn überhaupt \( z\notin\partial M\)?

Mir fällt gerade aber auf, dass wir \( z\notin\partial M \Rightarrow z\notin\lbrace{...\rbrace}\) ja schon gezeigt haben.

Um \(\partial M \subseteq \lbrace{...\rbrace}\) zu zeigen sollte man eher mit \(z\notin\lbrace{...\rbrace}\) anfangen und dann \(z\notin\partial M\) zeigen. Oder du versuchst es direkt.