Aloha :)
Ich setze \((x\coloneqq K)\) und \((y\coloneqq L)\), um sie von den Konstanten \(k\) und \(\ell\) besser unterscheiden zu können. Im Kern geht es hier darum, eine Funktion \(f(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(x;y)\) zu optimieren:$$f(x,yl)=(\sqrt{x}+\sqrt y)^2=x+y+2\sqrt{xy}\to\text{Optimum}\\g(x,y)=kx\pink+\ell y=b=\text{const}$$
Wichtig: Für die Nebenbedingung in deinem Posting gibt es keine Lösung!!! Es gibt aber eine Lösung, wenn das pinke Plus-Zeichen anstatt des Minus-Zeichens in der Aufgabenstellung steht.
Nach Lagrange muss in dem gesuchten Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein, die Koeffizienten dieser Linearkombination sind die Lagrange-Multiplikatoren. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x}}{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt y}}=\lambda\binom{k}{\ell}$$
Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate:$$\frac{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x}}{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt y}}=\frac{\lambda k}{\lambda\ell}\implies\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac k\ell\implies \pink{y=\frac{k^2}{\ell^2}x}$$Diese Division kannst du auch nach deiner Methode durchführen.
Mit dem falschen Minus-Zeichen in der Nebenbedingung (wie in deinem Posting) würde die Gleichung vor der pinken Lagrange-Bedinung \((\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=-\frac k\ell)\) lauten, was wegen \(k,\ell>0\) nicht möglich ist.
Die erhaltene pinke Lagrange-Bedinung wird in die Nebenbedingung \(g\) eingesetzt:$$b=kx+\ell\pink y=kx+\ell\pink{\frac{k^2}{\ell^2}x}=\left(\frac{k\ell+k^2}{\ell}\right)x\implies x=\frac{b\ell}{k(\ell+k)}$$
Damit liegt das Optimum bei:$$x=\frac{b\ell}{k(\ell+k)}\quad;\quad y=\frac{bk}{\ell(\ell+k)}$$
