Ist die Logarithmusfunktion konkav oder konvex

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie

Die Funktion f(x)=(0,1) -> R mit f(x)=ln(cos(x)) ist konkav auf R

Problem/Ansatz:

Comments

Beweisen oder widerlegen Sie:
Die Funktion f(x)=(0,1) -> R mit f(x)=ln(cos(x)) ist konkav auf R

Die Funktion f ist "auf R" gar nicht definiert. Welche Eigenschaften soll sie denn da sonst noch haben?

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Es ist traurig, wie wenige es schaffen, eine sehr einfache und kurze Aufgabe richtig und vollständig wiederzugeben.

Da fragt man sich manchmal, wofür die Schule überhaupt gut war.

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So sieht der Graph aus:

https://www.wolframalpha.com/input?i=ln%28cosx%29

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Die zweite Ableitung ist

f''(x)=-1/cos^2(x) für 0<x<1.

D.h.der Funktionsgraph ist rechtsgekrümmt.

:-)

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass es um die Konkavität

von \(\ln\circ \sin\) auf dem offenen Intervall \((0,1)\) geht.

Da \(\ln\) konkav und monoton wachsend ist und

\(\sin\) auf \((0,1)\) konkav ist, ist auch die Hintereinander-

ausführung \(\ln\circ \sin\) auf \((0,1)\) konkav.

Falls ihr keinen entsprechenden Satz über die Verknüpfung

konkaver / konvexer Funktionen kennt, beweise einen solchen ...

Comments

Die Funktion f(x)=(0,1) -> R mit f(x)=ln(cos(x)) ...

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Oh! Vielen Dank! Lesen sollte man können.
Das Argument bleibt aber dasselbe.

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Also die Aufgabenstellung steht tatsächlich genauso da. Entweder es ist ein Fehler passiert oder ich muss die Aussage widerlegen in dem ich beweise, dass die Funktion auf R nicht definiert ist.

Kann das sein?

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Auf R ist f sicher nicht konkav, da sie nur auf (0,1) definiert ist. Man kann fragen, ob sie auf (0,1) konkav ist.