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Hintergrund:

Es wurde gezeigt, dass die Funktionen

$$e_{\nu}(x)=\frac{1}{\sqrt{l}}e^{i\nu\frac{2\pi}{l}x}$$

die Orthonormierungsbedingung $$(e_\mu,~e_\nu)=\delta_{\mu\nu}$$ bezüglich des Skalarprodukts (allgemein für zwei komplexe periodische Funktionen g und h mit Periode l)

$$(g,~h)=\int \limits_{0}^{l}g^*(x)h(x)dx$$

erfüllen.

Die Verifikation der Orthogonalität, also für $$\mu≠\nu$$ lautet dabei:

$$(e_\mu,~e_\nu)=\int \limits_{0}^{l} e_\mu^*(x)e_\nu(x)dx=\int \limits_{0}^{l}\frac{1}{\sqrt{l}}e^{-i\mu\frac{2\pi}{l}x}\frac{1}{\sqrt{l}}e^{i\nu\frac{2\pi}{l}x}dx$$

$$=\frac{1}{l}\int \limits_{0}^{l}e^{i(\nu-\mu)\frac{2\pi}{l}x}dx=\frac{e^{i(\nu-\mu)\frac{2\pi}{l}x}}{i(\nu-\mu)2\pi}\bigg|_0^l=\frac{1}{i(\nu-\mu)2\pi}(e^{i(\nu-\mu)2\pi}-1)\textbf{~=~0}$$


FRAGE: Wieso ist der Ausdruck $$\frac{1}{i(\nu-\mu)2\pi}(e^{i(\nu-\mu)2\pi}-1)$$ gleich Null?

Es erschließt sich mir nicht, denn müsste dafür nicht

$$e^{i(\nu-\mu)2\pi}$$

gleich 1 sein und dafür wiederum

$$i(\nu-\mu)2\pi$$

gleich 0, was aber erstens der Annahme von $$\mu≠\nu$$ widerspricht und man zweitens in dem Bruch durch 0 teilen würde? Was übersehe ich?

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

In \(\delta_{\mu\nu}\) sind die Indizes \(\mu,\nu\in\mathbb N\) natürliche Zahlen.

\(\implies\) Die Differenz \((\nu-\mu)\in\mathbb Z\) ist eine ganze Zahl.

\(\implies\) In der Exponentialfunktion steht ein ganzzahliges Vielfaches von \((i\,2\pi)\).

\(\implies\) \(e^{i(\nu-\mu)\cdot2\pi}=1\)

Avatar von 152 k 🚀
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\(\nu - \mu \in \mathbb Z\) und \(e^{2\pi i k } = 1\) für \(k \in \mathbb Z\).

Avatar von 11 k

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