Hintergrund:
Es wurde gezeigt, dass die Funktionen
$$e_{\nu}(x)=\frac{1}{\sqrt{l}}e^{i\nu\frac{2\pi}{l}x}$$
die Orthonormierungsbedingung $$(e_\mu,~e_\nu)=\delta_{\mu\nu}$$ bezüglich des Skalarprodukts (allgemein für zwei komplexe periodische Funktionen g und h mit Periode l)
$$(g,~h)=\int \limits_{0}^{l}g^*(x)h(x)dx$$
erfüllen.
Die Verifikation der Orthogonalität, also für $$\mu≠\nu$$ lautet dabei:
$$(e_\mu,~e_\nu)=\int \limits_{0}^{l} e_\mu^*(x)e_\nu(x)dx=\int \limits_{0}^{l}\frac{1}{\sqrt{l}}e^{-i\mu\frac{2\pi}{l}x}\frac{1}{\sqrt{l}}e^{i\nu\frac{2\pi}{l}x}dx$$
$$=\frac{1}{l}\int \limits_{0}^{l}e^{i(\nu-\mu)\frac{2\pi}{l}x}dx=\frac{e^{i(\nu-\mu)\frac{2\pi}{l}x}}{i(\nu-\mu)2\pi}\bigg|_0^l=\frac{1}{i(\nu-\mu)2\pi}(e^{i(\nu-\mu)2\pi}-1)\textbf{~=~0}$$
FRAGE: Wieso ist der Ausdruck $$\frac{1}{i(\nu-\mu)2\pi}(e^{i(\nu-\mu)2\pi}-1)$$ gleich Null?
Es erschließt sich mir nicht, denn müsste dafür nicht
$$e^{i(\nu-\mu)2\pi}$$
gleich 1 sein und dafür wiederum
$$i(\nu-\mu)2\pi$$
gleich 0, was aber erstens der Annahme von $$\mu≠\nu$$ widerspricht und man zweitens in dem Bruch durch 0 teilen würde? Was übersehe ich?
