Bestimmen Sie alle lokalen und alle globalen Extrema von f(x, y) = y2 − 3x2y+ x4 für 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.
Ich bräuchte bei der Aufgabe etwas Hilfe.. ich habe zwar über den Gradienten gradf(x,y)= \( \begin{pmatrix} -6xy + 4x^3 \\2y-3x^2\\ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\ \end{pmatrix} \) den Kritischen Punkt (0,0) herausgefunden, aber bei der Hessematrix als Determinante = 0.
Theoretisch müsste ich doch jetzt die Umgebung des kritischen Punktes betrachten um eine Aussage zu treffen, richtig? (Ich weiß über Veranschaulichung, dass es ein Sattelpunkt ist.) Aber da (0,0) ein Eckpunkt ist, kann ich die Funktion doch nicht in alle Richtungen abschätzen. (Bei f(0,0) = 0, f(0,1)=f(1,0)= 1 und f(1,1)= -2) Reicht das schon als Grund aus um es als Sattelpunkt zu bestimmen? Bzw. ist es dann trotzdem noch ein Extrema?
Und reicht es bei der globalen Extrema-Betrachtung aus den Rand der Funktion, bzw. die Eckpunkte zu betrachten? (glob. Max bei (1,0) und (0,1) und glob. Min bei (1,1) ). Wenn ja, gibts da ein Satz der mir weiterhilft? (Wenn ja, hab ich den wahrscheinlich gekonnt überlesen)
Würde mich über Hinweise und Tipps freuen :)
