Äquidistante Zerlegung + Integral des Grenzübergangs

Question

Aufgabe:

$$\text{Es seien } b > 0 \text{ und } f:[0,b]\rightarrow \mathbb{R} \text{ mit f(x):= } x^{2} \text{.}\\\text{Betrachten Sie für }n \in \mathbb{N} \text{ die äquidistante Zerlegung }\\Z_n := \{0, \frac{b}{n},\frac{2b}{n},...,b\}\text{.}\\\text{Berechnen Sie die Untersomme }U(f, Z_n) \text{ und die Obersumme } O(f, Z_n).\\ \text{Betrachten Sie den Grenzübergang für n}\rightarrow \infty \text{ und bestimmen Sie damit das Ergebnis des Integrals}\\\int \limits_{a}^{b}x^2dx.\\Hinweis:\\\sum \limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\$$

Problem/Ansatz:

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Answer 1

Auf \([0,b]\) ist \(f\) monoton wachsen. Der niedrigste Funktionswert in jedem Teilintervall befindet sich deshalb am linken Rand und der höchste am rechten Rand.

\(\displaystyle U(f,Z_n) = \sum_{i=1}^n \frac{b}{n}\cdot f\left(\frac{(i-1)\cdot b}{n}\right)\)

\(\displaystyle O(f,Z_n) = \sum_{i=1}^n \frac{b}{n}\cdot f\left(\frac{i\cdot b}{n}\right)\)