Umformungen für Regeln von de l’Hospital

Question

Ich habe eine recht spezielle Frage. Nämlich verstehe ich nicht genau, wie man eine Funktion richtig umstellt, um die Regeln von de l’Hospital anwenden zu dürfen. Dabei meine ich primär erstmal Funktionen, wo minus gerechnet wird, solche Beispiele habe ich schon oft gesehen und gefühlt wird da jedes mal anders umgestellt. Was ich meine:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cosh x}{\sinh x}-\frac{1}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \cosh x-\sinh x}{x \sinh x} \)

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{e^{x}-1}-\frac{1}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(e^{x}-1\right)}{\left(e^{x}-1\right) x} \)

Ich könnte noch viele weitere Beispiele beifügen, aber ich hoffe es ist klar was ich meine. Die einzige Gemeinsamkeit die ich immer sehe ist das im Zähler minus gerechnet wird und unten immer beide Nenner mal genommen werden, aber was genau soll im Zähler von was abgezogen werden? Kann da jemand Licht ins Dunkeln bringen?

Comments

Kommentar → Antwort

---

vgl:

a/b - c/d = (ad-cb)/(bd)

---

Genial, danke!

Answer 1

Aloha :)

Wir haben das immer "über Kreuz multiplizieren" genannt:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}\quad;\quad\frac ab\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\frac cd\to\frac{ad+bc}{bd}$$

$$\frac ab-\frac cd=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}\quad;\quad\frac ab\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\frac cd\to\frac{ad-bc}{bd}$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

Es handelt sich jeweils um eine Differenz (oder auch Summe) von Brüchen, die mit dem gemeinsamen Hauptnenner zu einem Bruch umgeformt werden.

Gruß Wolfgang

Comments

Ok, danke dir für deine Antwort!