Aloha :)
Ziel des Gauß-Verfahrens ist es, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die aus lauter Nullen mit genau einer Eins bestehen.$$\begin{array}{rrrrr|r}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & =\\\hline3 & 4 & 0 & 0 & \pink1 & 12\\2 & 5 & 0 & \pink1 & 0 & -6\end{array}$$
Bei zwei Gleichungen sind nicht mehr als zwei solcher Spalten möglich und die liegen bereits vor. Mit anderen Worten, hier ist nichts mehr zu tun.
Du kannst die Lösung dierekt ablesen, indem du die beiden Gleichungen nach den Variablen mit den pinken Einsen umstellst:$$x_5=12-3x_1-4x_2\quad;\quad x_4=-6-2x_1-5x_2$$und damit einfach alle möglichen Lösungsvektoren angibst:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\-6-2x_1-5x_2\\12-3x_1-4x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-6\\12\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-2\\-3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-5\\-4\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$
Die Lösung ist also ein 3-dimensionaler Untervektorraum mit den 3 Richtungsvektoren als eine mögliche Basis. Den Ankerpunkt \((0|0|0|-6|12)\) kannst du auch durch den Nullvekor ersetzen, denn der Nullvektor liegt ebenfalls in dem Untervektorraum (wähle \(x_1=12\), \(x_2=-6\) und \(x_3=0\)).
