Aloha :)
Hier geht es darum, die gegebenen Punktmengen mit Zylinderkoordinaten$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad; r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in(-\infty;\infty)$$in geeigneter Weise abzutasten.
Allerdings wurde der Aufgabenstellungein der entscheidende Punkt verschwiegen. Beim Übergang von kartesischen Koordinaten \((x;y;z)\) zu Zylinderkoordinaten \((r;\varphi;z)\) ändert sich das Volumenelement, über das letztlich integriert werden muss:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$
Im Folgenden schauen wir uns an, wie die Bedinungen, die an die Zugehörigkeit zur Menge geknüpft sind, die Zylinderkoordinaten einschränken. Danach berechnen wir die Volumina.
zu a) Die beiden Bedingungen stehen direkt in der Definition von \(A\):
$$x^2+y^2\le R^2\implies(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le R^2\implies r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\le R^2$$$$\phantom{x^2+y^2\le R^2}\implies r^2\le R^2\implies r\le R\implies r\in[0;R]$$$$0\le z\le H\;\;\;\,\implies z\in[0;H]$$
Damit beträgt das gesuchte Volumen:$$V=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^Hr\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{r=0}^Rr\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=0}^Hdz=\frac12R^2\cdot2\pi\cdot H=\pi R^2H$$
zu b) Hier sind die Bedingnugen etwas versteckter:$$z^2=(x^2+y^2)\cdot(1-x^2-y^2)=(x^2+y^2)\cdot(1-(x^2+y^2))=r^2\cdot(1-r^2)$$
Die Bedingungen lauten nun:$$z^2\ge0\implies1-r^2\ge0\implies1\ge r^2\implies r\le1\implies r\in[0;1]$$$$-\sqrt{r^2(1-r^2)}\le z\le\sqrt{r^2(1-r^2)}\implies z\in[-r\sqrt{1-r^2}\,;\;r\sqrt{1-r^2}]$$
In dieser Situation hängen die Integrationsgrenzen für \(dz\) von der Variablen \(r\) ab. Wir müssen daher beim Integrieren unbedingt zuerst über \(dz\) integrieren und dabei \(r\) als Konstante betrachten, bevor wir über \(dr\) integrieren.
$$V=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=-r\sqrt{1-r^2}}^{r\sqrt{1-r^2}}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^1\left(\;\;\int\limits_{z=-r\sqrt{1-r^2}}^{r\sqrt{1-r^2}}r\,dz\right)dr$$$$\phantom V=2\pi\int\limits_{r=0}^1\left[r\cdot z\right]_{z=-r\sqrt{1-r^2}}^{r\sqrt{1-r^2}}dr=4\pi\int\limits_0^1r^2\sqrt{1-r^2}\,dr=\cdots=4\pi\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{\pi^2}{4}$$
Das letzte Integral zu berechnen ist nicht ganz einfach. Ich habe die Rechnung mit \(\cdots\) abgekürzt, um dir die Freude daran nicht zu nehmen. Wenn du Schwierigkeiten bei der Berechnung haben solltest, schreib hier einfach nochmal ;)
