Bestimmen der lokalen Extrema

Question

Aufgabe:

Man bestimme die lokalen Extrema der Funktion

\( f(x, y)=3 x-4 y \)

unter der Nebenbedingung

\( x^{2}+y^{2}=25 \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin hier bei diesem Beispiel und bekomme irgendwie immer wieder andere Werte raus.. Ich löse es mit dem Lagrange Verfahren auf und wende dann das Additionsverfahren an. Hab es auch schon mit auflösen und einsetzen probiert aber ich glaube ich mache irgendwas falsch. Jedenfalls bestimme ich die lokalen dann über die Lagrange Hesseform

Kann mir jemand zeigen wie es richtig gerechnet wird? Danke :)

Comments

vgl:

http://groolfs.de/Verschiedenespdf/Lagrange.pdf

Answer 1

\(f(x,y)=3x-4y\Rightarrow grad(f)=(3,-4)\)

\(g(x,y)=x^2+y^2-25\Rightarrow grad(g)=(2x,2y)\)

\(grad(f)=\lambda grad(g)\) liefert

\(3=2\lambda x\) und

\(-4=2\lambda y\). Da \(x,y\neq 0\)

liefert Division der beiden Gleichungen

\(-3/4=x/y\). Dies in \(g(x,y)=0\) eingesetzt

ergibt die Punkte \((-3,4),\; (3,-4)\).

Das Minimum liegt bei \((-3,4)\),

das Maximum bei \((3,-4)\).

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woher weißt du direkt, dass P1 Min und P2 Max ist?

Wenn ich auf die Punkte Lagrange anwende sinds beide Maxima

---

Oder ne Minima

---

Ich habe einfach die Funktionswerte

\(f(-3,4)=-9-16=-25\) und \(f(3,-4)=9+16=25\)

angeschaut.

Answer 2

Maximum bei (3;4)

Minimum bei (-3;-4)

Comments

Ah danke für deine Antwort, ich komme jetzt auf die selbe Lösung.

Allerdings bin ich mir bei MAX MIN unsicher schau mal, was ist hier los?

Hab alles normal umgesetzt. Danke nochmal

Text erkannt:

82) \( f(x)=3 x-4 y \quad N B x^{2}+y^{2}-25 \)
\( \begin{array}{l} d^{1}-3 x-4 y+\lambda \cdot\left(x^{2}-y^{2}-25\right) \quad \underbrace{x^{2}-y^{2}-25}_{S(4)} \\ 3 x-4 y+\lambda x^{2}-\lambda y^{2}-25 \lambda \\ d x=3+2 x \lambda \\ 3+2 x \lambda=0 \quad y \quad 3 y+2 x y \lambda-4 x+2 x y \lambda=0 \\ \alpha y=-4-2 y \lambda \\ -4-2 y d=0 \\ 3 y-4 x=0 \\ d \lambda=x^{2}-y^{2}-25 \\ x^{2}-y^{2}-25=0 \\ 3 y=4 x /: 3 \\ y=\frac{4 x}{3} \\ x^{2}-\left(\frac{4 x}{3}\right)^{2}-25=0 / r \\ x-\frac{4 x}{3}=5 / \cdot 3 \\ y_{1}=-\frac{4 \cdot 3}{3}=-4 \\ y_{2}=4 \\ 3 x=15 /: 3 \\ d x=3+2 x x \\ x= \pm 3 \\ d y=-4-2 y d \\ d u=x^{2}-y^{2}-25 \\ P_{1}(-3,-4), P_{2}(3,4) \\ \begin{array}{ll} p_{1} & p_{2} \end{array} \\ \delta x x=2 \lambda \quad 1 \quad 1 \\ 3+2 x \lambda=0 \quad 3-6 \lambda=0 \quad \lambda=1 / 2 \\ \alpha_{y y}=-2 \lambda-1 \quad-1 \\ P_{1}: \\ \alpha_{x y}=0 \quad 0 \quad 0 \\ 2 \lambda=0 \quad 0 \quad 0 \\ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -6 & 8 & 0 & -6 \\ -6 & 1 & 0 & -6 & 1 \\ 8 & 0 & -1 & 8 & 0 \end{array}\right) \quad-36+64>0 \quad P_{1} \Rightarrow \mu_{\text {in }} \\ 2 x \lambda \cdot 2 x-6 \quad 6 \\ \alpha y \lambda=-2 y \quad 8 \quad-8 \\ \mathrm{P}_{2} \\ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 6 & -8 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 0 & 6 & 1 \\ -8 & 0 & -1 & -8 & 0 \end{array}\right) \quad-36+64>0 \quad P_{2} \Rightarrow ? \\ \end{array} \)

Answer 3

Anstatt die Methode von Lagrange könnte man die Aufgabe auch mittels der einfachen Substitution

     x = 5 cos(α)   ;  y = 5 sin(α)

auf eine Extremwertaufgabe mit nur einer Variablen α  zurückführen.

Oder man löst die Aufgabe mittels einer Zeichnung in der x-y - Ebene (Kreis und Parallelenschar).