Das ist irgendwie ein kompliziertes LGS wenn man alles ausschreibt :(
das ist gar nicht so schlimm. Etwas kann man schon umformen:$$\begin{aligned}(Ab)\cdot (Ac) &= (A^T\cdot b)^T A^T \cdot c \\ &= b^T \cdot A \cdot A^T \cdot c \\&=0\end{aligned}$$(ich habe aus \(b_1,\,b_2\) \(\space b,\,c\) gemacht, dann muss ich nicht so viele Indizes tippen). Da \(A\) gegeben ist, berechne ich zunächst dieses Produkt.$$A\cdot A^T = 2\begin{pmatrix}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} $$ Weiter ist$$\begin{aligned} b^T \cdot A \cdot A^T \cdot c &= 2b^T \cdot \begin{pmatrix}c_x+c_y\\ c_x +c_y\\ c_z\end{pmatrix}\\ &= 2\left(b_xc_x + b_xc_y + b_yc_x + b_yc_y + b_zc_z\right) \\&= 2\left(\underbrace{b_xc_x + b_yc_y + b_zc_z}_{=b^T\cdot c = 0} + b_xc_y + b_yc_x\right) \\ &= 2\left(b_xc_y + b_yc_x\right) \\ &= 0\end{aligned}$$Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann z.B. \(b_x=c_x=0\) setzen usw. Ich entscheide mich für$$b = \begin{pmatrix}\beta\\ \beta\end{pmatrix}, \quad c = \begin{pmatrix}-\gamma\\ \gamma\end{pmatrix}, \quad \beta,\,\gamma \ne 0$$damit ist obige Gleichung erfüllt und genauso \(b^T\cdot c = 0\), wenn mindestens ein Wert von \(b_z\) und \(c_z=0\) ist. Setze ich diese beiden zu \(0\) so folgt aus der Bedingung \(|b|=|c|=1\):$$b=\begin{pmatrix}\sqrt{2}/2\\ \sqrt{2}/2\\ 0\end{pmatrix},\quad c=\begin{pmatrix}-\sqrt{2}/2\\ \sqrt{2}/2\\ 0\end{pmatrix}$$Gruss Werner
