Kern und Bild von linearen Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei f: R^3 -> R^3 eine lineare Abbildung. Wie nehmen an dass für alle $$v \in \mathbb{R^3}$$ gilt $$f \circ f=4v$$

1.) Zeigen Sie, dass gilt

a)$$Im(f-2id) \subset ker(f-2id)$$

b) $$Ker(f-2id) \cap Ker(f+2id)=0$$

c) $$Im(f-2id) \cap Im(f+2id)=0$$

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie das geht?

Comments

\(f \circ f=4v\)

Soll das vielleicht \((f\circ f)(v)=4v\) heißen?

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Muss es bei a) nicht

... \(\subset \ker(f+2id)\) heißen ?

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Genau, es ist fof(v)=4

Aber da steht wirklich ker(f-2id)

Answer 1

Zu a)

ich gehe mal davon aus, dass es \(\subset \ker(f+2id)\) heißen soll.

Die Behauptung ergibt sich dann aus der

Rechnung im Endomorphismenring von \(\mathbb{R}^3\)

\((f+2id)\circ(f-2id)=f\circ f-4id=0\).

Zu b)

Sei \(v\) in dem angegebenen Durchschnitt, dann ist

\((f-2id)(v)\stackrel{(1)}{=}0\wedge (f+2id)(v)\stackrel{(2)}{=}0\), also

\(2v\stackrel{(1)}{=}f(v)\stackrel{(2)}{=}-2v\Rightarrow v=0\).

Zu c) geht sicher ähnlich.

Comments

Die Aufgabe geht dann wie folgt weiter

2.) Zeigen Sie, dass für jedes $$v \in V$$ Vektoren $$u \in \mathbb{R^3}$$ und $$u' \in \mathbb{R^3} $$ existieren mit den Eigenschaften

v= u+ u'

f(u)= 2u

f(u')= -2u

Hinweis: Es kann benutzt werden dass f(v)-2v und f(v)+2v

3.) Zeigen Sie, dass $$R^3= Ker(f-2i) \bigoplus Ker(f+2id)=0 $$

4) Wir nehmen an, dass Rk(f-2id)=1. Zeigen Sie, dass eine Basis B von R^3 existiert, sodass die Matrix A=Mat_Bf eine Diagonalmatrix ist und geben Sie die Diagonalwerte dieser Matrix an