Zeigen Sie, dass dann auch die duale Abbildung F*:V*-- V* eine Projektion ist

Question

Wie gehe ich bei folgendem Beweis vor?

Es seien V ein K-Vektorraum und F: V--> V eine Projektion, also F²=F. Zeigen Sie, dass dann auch die duale Abbildung F*:V^*--> V* eine Projektion ist.

Was ist V* und wie zeige ich die Aussage?

Answer 1

\(V^*\) ist der Vektorraum aller Linearformen auf \(V\),

d.h. aller \(K\)-linearen Abbildungen \(V\to K\).

Ist nun \(F:\;V\to V\) eine lineare Abbildung, so wird

\(F^*\) definiert als \(F^*:\; V^*\to V^*,\; v^*\mapsto v^*\circ F\).

Wenn \(F\) eine Projektion ist, also \(F\circ F=F\) gilt,

bekommen wir \(\forall v^*\in V^*\):

\((F^*\circ F^*)(v^*)=F^*(F^*(v^*))=F^*(v^*\circ F)=\)

\(=(v^*\circ F )\circ F=v^*\circ (F\circ F)=v^*\circ F=F^*(v^*)\),

mithin \(F^*\circ F^*=F^*\). \(F^*\) ist also eine Projektion.