Grenzwertbestimmung mit Taylorreihen

Question

Wie kann man unter Verwendung von Taylorreihen den Grenzwert bestimmen:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-x+\sin (x)}{\exp \left(x^{3}\right)-1} \)

Ich danke jeden für die Hilfe.

Answer 1

Es gilt \( \sin\left( x\right) =  x + x^{ 3} / 6 + O( x^{ 4})  \) und \( \exp\left( x^{ 3}\right) = 1 + x^{ 3}+ O( x^{ 6}) \) für \( x \to 0\). Daraus ergibt sich

\(\begin{aligned}   \lim_{x \to 0} \frac{ -x + \sin\left( x\right) }{ \exp\left( x^{ 3}\right) - 1}   = \lim_{x \to 0} \frac{ - x^{ 3} / 6 +  O( x^{ 4}) }{ x ^{ 3} + O( x^{ 6}) } = -\frac{1}{ 6} .\end{aligned}\)

Comments

\(\sin(x)=x-\frac16x^3+O(x^4)\).

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Man sollte nix verschenken  es ist O(x^5)

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@Mathhilf schon klar, aber ist hier nicht wichtig. Um den Fragensteller nicht unnötig zu verwirren, habe ich einfach den normalen Restterm genommen.

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Das ändert nichts daran, dass \(\sin(x)=x+\frac16x^3+O(x^4)\) falsch ist.

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@Arsinoe4 Hab ich doch auch nicht gesagt haha.

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Es gilt \( \sin\left( x\right) =  x + x^{ 3} / 6 + O( x^{ 4})  \) ...

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Ist mir schon klar, aber die Leute sehen ja deinen Kommentar.