Zeigen Sie, dass dann auch \alpha A+(1-\alpha) B eine stochastische Matrix ist.

Question

Aufgabe:

Seien \( A, B \) stochastische Matrizen und sei \( \alpha \in[0,1] \). Zeigen Sie, dass dann auch \( \alpha A+(1-\alpha) B \) eine stochastische Matrix ist.

Answer 1

Hallo,

sind \(A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} \) stochastische Matrizen, dann gilt für \(j\in\lbrace{1,\dots,n\rbrace}\)

\(\sum_{i=1}^n \left(\alpha a_{ij} + (1-\alpha)b_{ij}\right) = \alpha \sum_{i=1}^n a_{ij} + (1-\alpha) \sum_{i=1}^n b_{ij} = \alpha + (1-\alpha) = 1 \),

d.h. alle Spaltensummen von \(\alpha A + (1-\alpha) B\) sind gleich 1. Analog zeigt man, dass alle Zeilensummen gleich 1 sind.

Dass alle Einträge zwischen 0 und 1 liegen, sollte klar sein.

Comments

Könntest du mir das genau einmal zeigen?

Also das Spaltensumme gleich 1 ist, ist mir bewusst, damit es eine stochastische Matrix sein kann.