Aloha :)
zu a) Da die eine Fläche \((x^2+y^2=4)\) ein unendlich hoher Zylinder (z-Richtung) mit Radius \(r=2\) ist, wählen wir zum Abtasten der Schittkurve Zylinderkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r=2\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in(-\infty;\infty)$$
Wegen \((z=xy)\) entfällt ein Freiheitsrad, denn die \(z\)-Koordinate ist nicht frei wählbar und wir haben die Kurve durch den Polarwinkel parametrisiert:$$\vec r=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\4\cos\varphi\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$
Das gesuchte Integral können wir daher wie folgt formulieren:$$E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec F(\vec r(\varphi))\,\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}2\sin\varphi-4\sin\varphi\cos\varphi\\4\cos^2\varphi\\1+2\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\4(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom E=\small\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-4\sin^2\varphi+8\sin^2\varphi\cos\varphi+8\cos^3\varphi+4\cos^2\varphi-4\sin^2\varphi+8\sin\varphi\cos^2\varphi-8\sin^3\varphi\right)d\varphi$$
Das Integral löst sich fast in Luft auf, denn es gilt:$$\int\limits_0^{2\pi}\sin^3x\,dx=\int\limits_0^{2\pi}\cos^3x\,dx=0$$$$\int\limits_0^{2\pi}\sin^2\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\left[\frac13\sin^3\varphi\right]_0^{2\pi}=0\quad;\quad\int\limits_0^{2\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\frac13\cos^3\varphi\right]_0^{2\pi}=0$$
Die übrig gebliebenen quadratischen Terme schreiben wir Integrations-freundlicher um:$$\sin^2\varphi=\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\quad;\quad\cos^2\varphi=\frac12+\frac12\cos(2\varphi)$$Das führt uns im nächsten Integralschritt auf:
$$E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-8\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)+4\left(\frac12+\frac12\cos(2\varphi)\right)\right)d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-2+6\cos(2\varphi)\right)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}-2\,d\varphi\pink{=-4\pi}$$Das negative Vorzeichen im Ergebnis besagt, dass man auf dem beschriebenen Weg durch das Kraftgeld kinetische Energie gewinnt, also schneller wird ;)
zu b) Mit dem Stoke'schen Satz nutzen wir aus, dass wir anstatt über die Umrandung eine Fläche auch über die Fläche selbst integrieren können. Das wirklich Wichtige an dem Satz ist jedoch dass die Form der Fläche keine Rolle spielt, jede (glatte) Fläche mit demselben Rand tut es. Wir machen es uns daher sehr einfach. und wählen die Kreisfläche \((x^2+y^2\le4)\) mit \(z=0\) zur Berechnung. Der Ortsvektor zum Abtasten der Fläche ist daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad d\vec f=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}r\,dr\,d\varphi$$Das Flächenelement \(d\vec f\) steht senkrecht auf der \(xy\)-Ebene. Fehlt noch die Rotation des Vektorfeldes:$$\operatorname{rot}\vec v=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}y-z\\x^2\\y+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-0\\-1-0\\2x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2x-1\end{pmatrix}$$
Formal heißt das für unser Integral:$$E=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\operatorname{rot}\vec v(r,\varphi)\,d\vec f=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\cos\varphi-1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(4\cos\varphi-1)r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2\left[(4\sin\varphi-\varphi)\right]_{\varphi=0}^{2\pi}r\,dr=\int\limits_{r=0}^2-2\pi r\,dr$$$$\phantom E=\left[-\pi r^2\right]_{r=0}^2\pink{=-4\pi}$$
