Skalarprodukt definiert durch \beta(A,B)=Spur(B^t*A) und Orthonormalbasis

Question

Aufgabe:

Für \( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) haben wir die Spur von \( A \) definiert als

\( \operatorname{Spur}(A):=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i} . \)
1. Zeigen Sie, dass durch
\( \beta(A, B):=\operatorname{Spur}\left(B^{t} \cdot A\right) \)
ein Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{n \times n} \) definiert wird.
2. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) bzgl. des Skalarproduktes aus Teilaufgabe 1.

Problem/Ansatz:

Ich hab mehrere Probleme mit der Aufgabe, daher liste ich sie mal auf

I. warum ist $$( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n}$$ so definiert mit dem ij=1,...,n ? heißt das die Matrix hat nur einträge auf der hauptdiagonalen? Oder missverstehe ich die Definition hier?

II. Skalarprodukt heißt ja dass ich jedes Element dann skaliere, ich seh nicht wie ich zeigen soll das $$\beta(A, B)$$ ein Skalarprodukt von was überhaupt sein soll.

III. folgend aus II. weiß ich auch nicht wie ich dass dann machen soll. Hilfe wäre sehr lobenswert

Comments

warum ist $$( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n}$$ so definiert mit dem ij=1,...,n ?

Da verstehe ich nicht, was du meinst. Die Spur einer

beliebigen Matrix ist einfach die Summe der Diagonalelemente.

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Naja sonst A=(aij) gegeben warum steht diesmal ij=1,...,n

Deswegen dachte ich daß heißt i=j weil i und j = eins bis n

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Zwischen i und j ist ein Komma. Das bedeutet, dass i und j unabhängig

von einander 1 bis n durchlaufen.

Answer 1

Hallo

was du damit meinst, dass ein Skalarprodukt "skaliert, verstehe ich nicht. ein Skalarprodukt erzeugt einen Skalar also ein Element des zuggehörigen Körpers K, hier meist K=ℝ manch Skalarprodukte induzieren eine Metrik, also β(a,a)=|a|^2

ausserdem ist es bilinear, d.h. β(A,B)=β(BA). β)(rA,B)=rβ(A,B) usw. sieh dir die Definition von bilinear oder von Skalarprodukt an. Die Eigenschaften musst du nachweisen.

Gruß lul