Warum gilt für Terme, was für natürliche Zahlen gilt?

Question

Die Bruchrechnung mit natürlichen Zahlen kann anschaulich plausibel gemacht werden. Beim Übergang zum Bruchrechnen mit Termen aus Zahlen Platzhaltern und Rechenzeichen übernehmen einige Lehrer einfach die für die natürlichen Zahlen gültigen Regeln. Warum gilt für Terme aus Zahlen Platzhaltern und Rechenzeichen, was für natürliche Zahlen gilt?

Comments

Beim Übergang zum Bruchrechnen mit Termen

Was genau meinst du damit?

Jede Zahl ist bereits ein math. Term.

ie Bruchrechnung mit natürlichen Zahlen kann anschaulich plausibel gemacht werden.

An welche Plausibilitäten denkst du?

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ggT22: Deine erste Frage hat mich veranlasst, meine Frage zu ergänzen.

Zu deiner zweiten Frage:

\( \frac{1}{4} \)+\( \frac{4}{6} \)=\( \frac{3}{12} \)+\( \frac{8}{12} \)=\( \frac{11}{12} \)

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Die Frage ist etwas ungeschickt formuliert.

Zunächst mal beruhen einfache Terme auf den Grundrechenarten wie +, -, *, :. Brüche sind nur eine etwas andere Darstellung der Division (:).

Solange das Berechnen von Termen sich also auf die Grundrechenarten und das Rechnen mit natürlichen Zahlen sowie die geltenden Rechengesetze bezieht sollten doch auch weiterhin alle Gesetzmäßigkeiten gelten.

Schwierig wird es doch erst, wenn dabei Terme entstehen welche den Gültigkeitsbereich der natürlichen Zahlen verlassen.

Also, wenn ein Ergebnis einer Rechnung den Bereich der natürlichen Zahlen verlässt.

Also wenn man die Terme (2 - 5) und (7/8) multiplizieren will, müssten wir erstmal neue Rechenregeln aufstellen bzw. überprüfen, wie wir die geltenden Regeln erweitern können.

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Bei der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen (inkl.) Null, kennen die Schüler.

1. Multipliziert man eine Zahl mit Null, dann ist das Ergebnis Null. (Nullprodukt).

2, Multipliziert man eine Zahl mit 1 so ist das Ergebnis die Zahl. (1 als Neutrales Element)

3. Multipliziert man zwei Zahlen ungleich Null oder 1, so ist das Ergebnis immer größer als jede Zahl selbst.

Nun gelten diese Regeln aber nicht mehr, wenn wir den Bereich der natürlichen Zahlen verlassen.

Grundsätzlich gilt also für Terme nicht das, was für natürliche Zahlen gilt.

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Die Antwort von Mathecoach mit anderen Worten: Brüche sind nur eine etwas andere Darstellung der Division. Der Übergang von den natürlichen Zahlen zu größeren Zahlbereichen geschieht durch Zahlbereichserweiterung einschließlich des Übertragens der Rechenregeln auf die erweiterten Bereiche.

Kann man diesen Zusammenhang so weit vereinfachen, dass er in der sechsten Klasse verstanden wird?

Answer 1

Kann man diesen Zusammenhang so weit vereinfachen, dass er in der sechsten Klasse verstanden wird?

Ja. Das wird doch erfolgreich praktiziert.

Ich vermute mal kein Schüler hat Schwierigkeiten 3 halbe Brötchen und 4 halbe Brötchen zu addieren. Es sollte klar sein das dies 7 halbe Brötchen sind.

3/2 + 4/2 = 7/2

Der Nenner benennt nur die Art von Teilen die wir haben und der Zählr zählt wie bei den natürlichen Zahlen die Anzahl dieser Teile. Wir rechnen hier also jetzt zumindest so wie mit natürlichen Zahlen.

Auch das wir ein ganzes Brötchen in beliebig viele Teile aufteilen können sollte klar sein

1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 = ...

Zu deiner Rechnung

1/4 + 2/3 = 3/12 + 8/12 = 11/12

 +  =  +  =