Extremwertaufgabe: Maximaler Umfang eines Rechtecks einer Funktion

Question

Aufgabe:

Maximaler Umfang eines Rechtecks in einer Funktion mit den Punkten (0/4,5) und (3/0) und diese ist nach unten gedreht.

Problem/Ansatz:

Ich hatte diese Aufgabe gestern in der Klausur und ich meine ich wäre auf b=2 und h=2,5 von der 0 aus gekommen. Kann das wer bestätigen?

Answer 1

f(x) = 4.5 - 4.5/3^2*x^2 = 4.5 - 0.5·x^2

U(x) = 2·x + 4·f(x) = 4·x + 2·(4.5 - 0.5·x^2) = - x^2 + 4·x + 9

U'(x) = 4 - 2·x = 0 → x = 2

Breite: 2x = 4

Höhe: f(2) = 2.5

Skizze

Comments

Ok vielen Dank!

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@Mathecoach: zunächst mal herzlichen Glückwunsch zu Deiner Kristallkugel wie Du aus dieser wirren Aufgabestellung

... in einer Funktion mit den Punkten (0/4,5) und (3/0) und diese ist nach unten gedreht.

zu dieser Parabel gekommen bist.

In der Aufgabenstellung fehlt zudem die Beschreibung wie das Rechteck im Koordinatensystem liegen soll.

Liegt es so wie in Deiner Skizze - also symmetrisch zur Y-Achse - und bündig auf der X-Achse, so wäre sein Umfang $$U = 4x + 2f(x)$$und nicht

U(x) = 2·(x + f(x)) = ...

und die Lösung des Fragestellers

ich meine ich wäre auf b=2 und h=2,5 von der 0 aus gekommen.

wäre korrekt. Liegt das Rechteck aber bündig zur Y-Achse - also vollständig im ersten Quadranten - dann ist \(x_{\text{opt}}=1\), wie hier berechnet.

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Wenn ich mich recht entsinne, dann lag das Rechteck bündig zur x-Achse und symmetrisch zur y-Achse.

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Hallo Werner-Salomon,

vielen lieben Dank für die Korrektur. Ich habe das oben angepasst.

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Vielen Dank! Damit bin ich mir sicher dass ich Mathe 1 bestanden habe :D

Answer 2

f(x) = ax^2+b

f(0) = 4,5 -> b= 4,5

f(3)= 0

9a+4,5= 0

a = -1/2

f(x)= -0,5x^2+4,5

U(x) = 2*(x+f(x)) = 2*(x-0,5x^2+4,5) = -x^2+2x+9

U'(x) = 0

-2x+2 = 0

x= 1 -> Breite = 2*1 = 2

f(x) = 4 (Höhe)