Finden Sie alle Lösungen der folgenden Betragsgleichungen

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Lösungen der folgenden Betragsgleichungen

a) $$ \frac{|4x-4|}{x+1}=1$$

b) $$\frac{2x-1}{|x-4|+1}=-1$$

c) $$\frac{|x+4|}{x+2}= \frac{x-1}{x+5}$$

d) $$|\frac{x-4}{x+2}|=4$$
Problem/Ansatz:

a) |4x-4|=x+1

Jetzt würde ich ja den Betrag wegfallen lassen und eine Fallunterscheidung machen oder?

Answer 1

Jetzt würde ich ja den Betrag wegfallen lassen und eine Fallunterscheidung machen oder?

Wie Roland textlich anmerkte macht man die Fallunterscheidung und in den einzelnen Fällen lässt man dann die Betragsstriche weg und ergänzt bei Bedarf ein Minus..

Warum machst du es nicht einfach. Nochmals ein kleiner Tipp. Es gibt Mathewerkzeuge wie Photomath die dir sehr helfen können. Allein zur Selbstkontrolle.

$$\frac{|4x-4|}{x+1} = 1$$

Definitionsbereich: D = R \ {-1}

$$|4x-4| = x + 1$$

Fall 1: x ≥ 1

$$4x - 4 = x + 1 \newline 3x = 5 \newline x = \frac{5}{3}$$

Fall 2: x < 1

$$-(4x - 4) = x + 1 \newline -4x + 4) = x + 1 \newline -5x = -3 \newline x = \frac{3}{5}$$

Answer 2

a) |4x-4|=x+1
Jetzt würde ich ja oder?

Umgekehrt: Erst eine Fallunterscheidung machen und dann den Betrag 'wegfallen' lassen. Der Betrag fällt nur in einem Falle wirklich weg!

Comments

Sorry. Betrachte meinen ehemaligen Kommentar als hinfällig. Vor dem 3. Kaffee bin ich noch nicht ganz wach ;)

Answer 3

Weg ohne Fallunterscheidung:

\( \frac{|4x-4|}{x+1}=1  \)

\( \frac{\sqrt{(4x-4)^2}}{x+1}=1| ^{2}  \)

\( \frac{(4x-4)^2}{(x+1)^2}=1   \)

\( (4x-4)^2=(x+1)^2  \)

\( 16x^2-32x+16=x^2+2x+1  \)

\( 15x^2-34x=-15  \)

\( x^2-\frac{34}{15}x=-1 \)

\( (x-\frac{17}{15})^2=-1+(\frac{17}{15})^2=\frac{64}{225}  |±\sqrt{x} \)

1.)

\( x-\frac{17}{15}=\frac{8}{15}  \)

\( x_1=\frac{5}{3} \)

2.)

\( x-\frac{17}{15}=-\frac{8}{15}  \)

\( x_2=\frac{3}{5} \)

Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

1.Probe:

\( \frac{|4 \cdot \frac{5}{3} -4|}{\frac{5}{3}+1}=1  \) ✓

2.Probe:

\( \frac{|4\cdot \frac{3}{5}-4|}{\frac{3}{5}+1}=1  \) ✓