Gesuchter Punkt auf dem Einheitskreis um den Ursprung

Question

Aufgabe:

Das Dreieck hat die Ecken A = (0,0) ; B = (2,0) ; C = (0,2)

Suchen Sie den Punkt, für den die Summe S der Quadrate der Entfernungen von den Ecken ein Minimum ist und bestimmen Sie S.

Wo liegt der gesuchte Punkt, wenn man zusätzlich fordert, dass der Punkt auf dem Einheitskreis um den Ursprung liegen soll?

Problem/Ansatz:

Was soll hier gemacht werden?

Answer 1

$S=f^2+g^2+h^2$ soll minimal werden.

$f^2=u^2+v^2$

$g^2=(2-u)^2+v^2$

$h^2=(2-v)^2+u^2$

$S=u^2+v^2+(2-u)^2+v^2+(2-v)^2+u^2$

$S=u^2+v^2+4-4u+u^2+v^2+4-4v+v^2+u^2$

$S(u,v)=3u^2-4u+3v^2-4v+8$

$\frac{dS(u,v)}{du}=6u-4$       $6u-4=0$    $u=\frac{2}{3}$ 

$\frac{dS(u,v)}{dv}=6v-4$        $v=\frac{2}{3}$  

Jetzt die Werte oben bei $f^2$  $g^2$    und $h^2$ einsetzen. $S=...$

Comments

Mit der Zusatzbedingung gilt $u^2 + v^2 = 1$.

$S(u,v)=3u^2-4u+3v^2-4v+8\\ =-4u-4v+3(u^2+v^2)+8\\= -4u-4v+11$

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$u^2 + v^2 = 1$   →$v^2 = 1-u^2$  →  $v = \sqrt{1-u^2}$

$v = \sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}$

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Erkennst diu den Widerspruch zu deinem v=2/3 von oben nicht ?

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Mit der Zusatzbedingung erhält man

 $u=v=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,7071$.

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Mit der Zusatzbedingung erhält man

Das ist klar. Gewundert habe ich mich über folgendes:

$v = \sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}$

Warum setzt du dort 2/3 ein?

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Lieber Gast hj2166: Dein außerordentlich löbliches Vorhaben, fehlerhafte Antworten in diesem Forum aufzuspüren, solltest du insbesondere dadurch verwirklichen, dass du einfach deine richtige Antwort neben die fehlerhafte stellt. Das ist freundlicher und leichter verständlich als irgendwelche - teils auch kryptische - Andeutungen in Richtung Antwortgeber (AG). Der Fragesteller (FS) bekäme so Gelegenheit, anlässlich der Auswahl der brauchbaren Alternative, etwas zu lernen. Man hat den Eindruck, dass du nicht dem FS helfen, sondern dem AG Fehler nachweisen willst.

Answer 2

a) Suchen Sie den Punkt, für den die Summe S der Quadrate der Entfernungen von den Ecken ein Minimum ist und bestimmen Sie S.

S = ([x, y] - [0, 0])² + ([x, y] - [2, 0])² + ([x, y] - [0, 2])²
S = 3·x² - 4·x + 3·y² - 4·y + 8
Sx' = 6·x - 4 = 0
Sy' = 6·y - 4 = 0 → x = 2/3 ∧ y = 2/3

S = 3·(2/3)² - 4·(2/3) + 3·(2/3)² - 4·(2/3) + 8 = 16/3

b) Wo liegt der gesuchte Punkt, wenn man zusätzlich fordert, dass der Punkt auf dem Einheitskreis um den Ursprung liegen soll?

S(x, y, k) = 3·x² - 4·x + 3·y² - 4·y + 8 - k·(x² + y² - 1)
Sx' = - 2·k·x + 6·x - 4 = 0
Sy' = - 2·k·y + 6·y - 4 = 0
Sk' = - x² - y² + 1 = 0 → x = √2/2 ∧ y = √2/2 ∧ k = 3 - 2·√2

Answer 3

Hallo,

zwei Antworten gibt es schon und niemand kommt auf die Idee Vekoren zu benutzen. Wenn man alles in Koordinaten hin schreibt sieht man meines Erachtens manchmal den Wald vor Bäumen nicht.

Ich nenne die drei Punkte $A$, $B$ und $C$ um in $P_{1,2,3}$. Dann ist die Summe $S$ der Quadrate der Entfernungen zu einem Punkt $X$$$S=\sum\limits_{i=1}^{3} (P_i- X)^2$$Das ganze nach $X$ abgeleitet (also den Koordinaten von $X$) und zum Nullvektor gesetzt, gibt:$$\begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial X}= \sum\limits_{i=1}^{3}\left(-2(P_i- X)\right) &= \vec{0} &&|\, \div (-2) \\ \sum\limits_{i=1}^{3} (P_i - X)&= \vec{0}\\ \sum\limits_{i=1}^{3}P_i - \sum\limits_{i=1}^{3}X &=\vec{0} &&|\,+3X, \div 3 \\ \frac{1}{3}\sum\limits_{i=1}^{3}P_i &= X\end{aligned}$$Das ist schlicht der Schwerpunkt des Dreiecks. Also in diesem konkretem Fall$$X= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix}$$Soll der Punkt $X$ auch auf dem Einheitskreis liegen, so ist schon aus der Symmetrie klar, dass es nur der Punkt $(\sqrt{2},\, \sqrt{2})/2$ sein kann. Ein 'Dienstweg' zur Lösung führt über den Lagrange Multiplikator. Die Nebenbedingung ist:$$X^2 - 1 = 0$$Bilden der Lagrange-Funktion nebst Ableiten und Nullsetzen gibt dann$$\begin{aligned} L(X,\lambda)&= \sum\limits_{i=1}^{3} (P_i- X)^2 + \lambda \cdot (X^2-1) \\\frac{\partial L}{\partial X} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\left(-2(P_i- X)\right) + 2 \lambda X = 0 \\ \implies X &= \frac{1}{3+ \lambda} \sum\limits_{i=1}^{3} P_i\end{aligned}$$Was heißt das nun? das heißt, dass $X$ und $\sum P_i$ kolinear sein müssen. Setzt man dies in die Nebenbedingung ein, kommt ein Faktor heraus, mit dem $X$ dann berechnet werden kann. Da $\sum P_i$ auf der Geraden $y=x$ liegt, ist es der bereits oben vermutetet Punkt$$X = \begin{pmatrix}\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/ 2\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Comments

so ist schon aus der Symmetrie klar, dass es nur der Punkt $(\sqrt{2},\, \sqrt{2})/2$ sein kann

Auf die ebenso symmetrische Situation, bei der der Punkt auf dem Einheitsquadrat mit Eckpunkten (0|0) und (1|1) liegt, trifft das nicht zu.

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Auf die ebenso symmetrische Situation, bei der der Punkt auf dem Einheitsquadrat mit Eckpunkten (0|0) und (1|1) liegt, trifft das nicht zu.

Sicher nicht, da der Punkt $(\sqrt{2},\sqrt{2})/2$ nicht auf dem Einheitsquadrat liegt. Ansonsten ist die Lösung - bzw. sind die beiden Lösungen genauso symmetrisch. Es sind die Punkte, die dem Schwerpunkt am nächsten liegen, genau wie hier auch!

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Gemeint ist folgende Situation, bei der der Viertel-Kreis ein wenig vereckigt wurde :

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Gemeint ist folgende Situation, bei der der Viertel-Kreis ein wenig vereckigt wurde :

Ja sicher! Was willst Du mir jetzt damit sagen? Der Unterschied ist eben, dass man in der Originalaufgabe einen Kreis hat. Und dieser hat bekanntermaßen keine Ecken ;-)

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Was willst Du mir jetzt damit sagen?

Dass nur ein einfaches Symmetrie-Argument nicht auseicht

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Was willst Du mir jetzt damit sagen?
Dass nur ein eifaches Symmetrie-Argument nicht auseicht

mag sein - mathematisch natürlich nicht ausreichend exakt. Die Lösung ist einfach zu offensichtlich. Und Du weißt ja, dass ich sehr gerne visualisiere. Wenn ich mir das vorstelle, ist es einfach klar.

Zeigen kann ich es gerade nicht, weil blöderweise aktuell die Internetverbindung zu Desmos anscheinend gestört ist :-|

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.. jetzt geht's wieder :-)

auf dem lila gestrichelten Kreis hat die Quadratesumme der Abstände zu den Ecken des Dreiecks immer den gleichen Wert. Zieht man den Kreis auf ($S$ lässt sich bewegen) so liegt das Minimum auf der jeweiligen Nebenbedingung - egal ob Kreis (blau) oder Quadrat (schwarz) - immer dort, wo der lila Kreis den Graphen der Nebenbedingung zuerst berührt.

So ist es auch ohne Rechnung offensichtlich, wo die Minima (und die Maxima!) liegen. Ich habe die Minima jeweils mit grünen Punkten markiert.

Answer 4

Ein CAS kann die Kontrolllösung liefern:

ohne Einheitskreis

mit Einheitskreis