2x2 Matrix Diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Ist diese 2x2-Matrix diagonalisierbar?

\( \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 2 & 32 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Man könnte die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen um dann zu gucken, ob die algebraischen und geometrischen Vielfachen äquivalent sind. Jedoch ist das eine Altklausur- Aufgabe die man ohne Taschenrechner hinbekommen sollte, und um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und Eigenvektoren dieser Matrix zu berechnen brauchte man einen Taschenrechner.

Habe ich eine Methode übersehen, wie man überprüfen kann ob diese Matrix diagonalisierbar ist?

Answer 1

Hier gibt es mehrere Möglichkeiten ohne TR:

1. Reelle symmetrische Matrizen sind stets diagonalisierbar, fertig.

2. Charakteristisches Polynom ausrechnen, Diskriminante \(>0\) (das geht ohne TR), also zwei versch. reelle Eigenwerte mit alg. Vielfachheit 1 (die dann auch die geom. Vielfachheit ist), damit diagonalisierbar.

Comments

Danke!

könntest du die zweite Möglichkeit anhand dieses Charackteristischen Polynoms veranschaulichen?:)

x² - 27x - 164

danke und LG

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Diskriminante ist in der p-q-Formel das, was unter der Wurzel steht. Die p-q-Formel kennst Du doch?!

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Ja Klar, danke:)