f(x)=3−sinx^2 - Unterscheiden sich Taylorpolynom 7 & 8. Grades (Nutzung der Symmetrie)

Question

Wir betrachten die auf R definierte Funktion f mit f(x) = 3 − sinx²

(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T₃(x; 0)!
(b) Unterscheiden Sich T₇(x; 0) und T₈(x; 0)? Finden und begründen Sie Ihre Antwort unter Nutzung der Symmetrie von f ohne die Taylorpolynome auszurechnen!

Mein Ansatz:

f'(x)= -2xcos(x²)
f''(x)= 4x²sin(x²)-2cos(x²)
f'''(x)= 12xsin(x³)+8x³sin(x²) = 0 Null gesetzt
x=0

T₃(0,0)= 3-x²

Aufgabe b) kann ich nicht lösen

Answer 1

Du kannst a) auch ohne Ableiten erledigen, indem Du die Taylorreihe für \(\sin x\) raussuchst (die fängt mit \(x-...\) an), in diese \(x^2\) anstelle \(x\) einsetzt (was die TR von \(\sin (x^2)\) ergibt) und das dann von 3 subtrahiert. Da siehst Du sofort \(T_3(x)=3-x^2\).

Zu b): Auf der obigen Herleitung siehst Du, dass in der TR von \(f\) nur gerade Exponenten vorkommen (daher sagt man übrigens auch "gerade Funktion"....). Damit sollte die Antwort auf die Frage klar sein, oder?

Comments

Okay cool dankeschön (:
Nach der sinus TR hätten wir also erst wieder bei welche T₆ weil (x³)^{^2} und T₁₀ da (x⁵)^{^2}?

Also sollten sich T₇ und T₈ nicht unterscheiden

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Genau so ist es.

Wobei man sollte besser \((x^2)^3\) und \((x^2)^5\) sagen, denn \(x^2\) wird eingesetzt in die TR vom \(\sin\).