Zeigen Sie, dass ... eine Basis von P1 ist

Question

Aufgabe:

Problem 3 Koordinatenvektor
Betrachten Sie den \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( \mathcal{P}_{1} \).
(a) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B}:=\left(\mathbf{m}_{0}+3 \mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{0}+\mathbf{m}_{1}\right) \) eine Basis von \( \mathcal{P}_{1} \) ist.
(b) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von \( \mathbf{m}_{\mathbf{l}} \) bzgl der Basis \( \mathcal{B} \).

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Was sind \(\mathcal{P}_1\), \(\mathbf{m}_0\) und \(\mathbf{m}_1\)?

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Text erkannt:

\( \mathcal{P}_{n} \) ist Menge aller Polynome \( p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) vom Grad höchstens \( n \)

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}2 \mathbf{m}_{2}+2 \mathbf{m}_{1}+\mathbf{m}_{0} \\ (x)=2 x^{2}+2 x+1\end{array} \)

Answer 1

Zu b)

\(1/2\cdot (m_0+3m_1)+(-1/2)\cdot(m_0+m_1)\),

also ist der Koordinatenvektor von \(m_1\) : \((1/2,-1/2)^T\).

Answer 2

Aloha :)

$$\binom{m_0}{0}=-\frac12\cdot\binom{m_0}{3m_1}+\frac32\cdot\binom{m_0}{m_1}\quad;\quad\binom{0}{m_1}=\frac12\cdot\binom{m_0}{3m_1}-\frac12\cdot\binom{m_0}{m_1}$$$$\vec m_0=-\frac12\vec b_0+\frac32\vec b_1\quad;\quad\vec m_1=\frac12\vec b_0-\frac12\vec b_1$$Die Basisvektoren von \(M\) lassen sich eindeutig durch die Basisvektoren von \(B\) ausdrücken.

Answer 3

\(  m_0 = a \cdot(m_0 + 3m_1 )  + b\cdot(m_0 + m_1 )  \)

\(  m_0 = am_0 + 3am_1   + bm_0 + bm_1  \)

\(  m_0 =(a+b)m_0 + (3a+b)m_1  \)

Da \(m_0 \) und \(m_1 \)  wohl auch (?) eine Basis bilden gilt:

a+b=1 und 3a+b=0 ==>   a=-0,5  und b= 1,5

==> \(  m_0 =-0,5m_0 + 1,5m_1  \)

Also der Koordinatenvektor von \(m_0 =   (\begin{array}{l} -0,5  \\   1,5 \end{array}) \).