Partialbruchzerlegung (Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad)

Question

2. Partialbruchzerlegung (Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad)
\( \begin{array}{l} \int \frac{x^{3}-x+1}{x-1} d x \\ \left(x^{3}-x+1\right):(x-1)=x^{2}+x+1+\frac{1}{x-1} \\ -x^{3}-x^{2} \\ x^{2} \\ x^{2}-\frac{x}{x} \\ x-1 \\ 1 \\ \end{array} \)

Ich komme hier gerade nicht weiter, wie gehe ich mit dem neuen Abbruch um um den Ansatz zu finden?

Answer 1

Hallo,

siehe hier:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

(x^3        - x + 1) : (x - 1)  =  x^2 + x Rest 1 
x^3  - x^2         
————————————————————
      x^2  - x + 1
      x^2  - x  
      —————————————
                  1

---------->

\( =\int(x^{2}+x+\frac{1}{x-1}) d x \)

usw.

Comments

Vielen Dank. So einen Fall hatte ich bisher noch nicht. Wie stelle ich den Ansatz auf A/? +B/?….?

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Du brauchst hier keine Partialbruchzerlegung

Du integrierst jeden Summand einzeln, das ist alles.

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Ich muss das aber mit Partialbruchzerlegung machen

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Hast Du das Integral richtig abgeschrieben, oder steht

vielleicht im Nenner x^2-1,oder mögl.weise ein Druckfehler?

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Ne, scheint dann ein Druckfehler zu sein. Viele Dank euch

Answer 2

Dein Ergebnis hat den Summanden 1 zu viel.

\( \frac{x^3-x+1}{x-1} \)=x²+x+\( \frac{1}{x-1} \). Dann ist für x→±∞ die Kurve mit der Gleichung a(x)=x²+x die Asymptote.

Answer 3

x/x macht keinen Sinn.

Nach +x ist Schluss mit der Division.

Es bleibt 1/(x+1) als Rest.

Comments

Vielen Dank. So einen Fall hatte ich bisher noch nicht. Wie stelle ich den Ansatz auf A/? +B/?….?

Answer 4

(x^3 - x + 1)/(x - 1) = x^2 + x + 1/(x - 1)

∫ (x^3 - x + 1)/(x - 1) dx
= ∫ (x^2 + x + 1/(x - 1)) dx
= 1/3·x^3 + 1/2·x^2 + LN(x - 1) + C

Für den letzten Summanden brauchst du keine Partialbruchzerlegung.

Comments

Ich muss das mit Partialbruchzerlegung machen

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Du brauchst die Partialbruchzerlegung nur, wenn der Nennergrad > 1 ist. Der Nenner ist hier linear, weshalb du keine Partialbruchzerlegung brauchst.

Da hat der Lehrer wohl unter die Aufgaben mit Partialbruchzerlegung eine Anfängeraufgabe geschmuggelt, für die du die Zerlegung nicht brauchst.