Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle a_{k}=\left(\frac{1-2 k}{4 k+2 \sqrt{k}}\right)^{3} \)

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, dies ist mein erster Post. Ich kam bei dieser Aufgabe nicht weiter und wollte eine ganz bestimmte Sache fragen. Wie gehe ich hier vor wegen der Wurzel ? Ich würde mich über einen Denkanstoß freuen. Muss ich die Wurzel auflösen als erstes auflösen ? Ich würde gerne wissen wie ich den ganzen Ansatz anfange.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Comments

Klammer die größte Potenz von k im Zähler und Nenner aus. Begründe dann mit den Rechenregeln für Grenzwerte oder mit der stetigkeit, dass die Folge gegen - 1/8 konvergiert

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Mit k kürzen bzw. mit 1/k erweitern:

\( a_{k}=\left(\dfrac{1-2 k}{4 k+2 \sqrt{k}}\right)^{3} \\ =\left(\dfrac{\frac1k\cdot(1-2 k)}{\frac1k\cdot(4 k+2 \sqrt{k})}\right)^{3} \\ =\left(\dfrac{\frac1k\cdot1   -  \frac1k\cdot2 k}{    \frac1k\cdot 4 k  +   \frac1k\cdot  2 \sqrt{k}}\right)^{3}  \\=    \left(\dfrac{\frac1k-2}{4 +2 \frac{1}{\sqrt{k}}}\right)^{3}\\ \stackrel{k\to\infty}{\longrightarrow} \left(\dfrac{-2}{4}\right)^3=-\dfrac18\)     

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Hi, genau so wurde es auch in dem Lösungsverfahren gerechnet.

Entschuldige die blöde Frage, was passiert mit der Variable k beim zweiten Schritt ?

Was passiert unten im Nenner mit der 4k, dass es zu 4 wird ?

Bin ein totaler Anfänger und es verwirrt mich noch sehr.

Vielen Dank an alle für die schnellen Antworten.

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Der Bruch wurde um k verkürzt, so wie man z.B. folgenden Bruch um 2 verkürzt:

(2+4)/(4+6) = (2*(1+2))/(2*(2+3)) = (1+2)/(2+3).

Sowohl auf dem Nenner als auch auf dem Zähler wurde das Distributivgesetz umgekehrt mit k als Faktor verwendet, sodass k als Faktor im Zähler und im Nenner steht und diese zwei k-Faktoren kürzen sich weg.

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was passiert mit der Variable k beim zweiten Schritt ?

der Bruch wird durch \(k\) gekürzt. D.h. Zähler und Nenner des Bruchs werden durch \(k\) geteilt.

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@Nono:

Ich habe meinen Kommentar ergänzt.

:-)

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Habe es verstanden, ich Danke euch allen vielmals und wünsche jedem einzelnen von euch das beste!!!

Kann ich jedem Kommentar hier ein Like geben ?

Answer 1

Wenn du möchtest, könntest du etwa  w:= √(k)  als neue Variable wählen und dann  w  (anstatt k)  gegen unendlich streben lassen. Damit regelt sich dann alles über gebrochen rationale Funktionen.

Für die Ersetzung müsste man aber noch eine Begründung angeben.

Den Wert des Grenzwerts kann man aber fast "vom Schiff aus" erkennen.

Answer 2

Man kann den Grenzwert der Klammer ablesen. k gewinnnt.

-> -2k/(4k) = -1/2

lim = (-1/2)^3 = -1/8 für x gg. oo