Hallo,
es geht um folgende Aufgabe: 1b
lass uns erstmal 1a) machen. Du hast nichts dazu geschrieben.
Wenn es ein \(y=y(x)\) und \(z=z(x)\) gibt, mit \(y(0)=1\) und \(z(0)=1\), dann bedeutet das doch, dass das Zahlentripel \((x=0,\,y=1,\,z=1)\) das Gleichungssystem löst. Einsetzen gibt$$\begin{aligned} e^{x}+\alpha y^2z - z = \beta \\ x^{2} + \alpha y^{2}\ln(z) - xy = 0 \\ \hline 1+\alpha - 1 = \beta \\ \alpha \ln(1)= 0 \\ \end{aligned}$$Die zweite Gleichung ist immer erfüllt, da \(\ln(1)=0\) und aus der ersten folgt \(\alpha = \beta\).
Mit 1b) kommt jetzt die Ableitung in's Spiel, also leite beide Gleichungen nach \(x\) ab. Nach der Kettenregel ist z.B. \((y^2)' = 2yy'\) usw.$$\begin{aligned} e^{x}+\alpha\left(2 yy'z + y^2z'\right) - z' = 0 \\ 2x + \alpha \left(2yy'\ln(z) + \frac{y^2}{z}z'\right) - (y + xy') = 0 \\ \end{aligned}$$Jetzt noch sortieren, so dass es sich als Matrix-Vektor-Produkt darstellt:$$\begin{pmatrix} 2\alpha yz & \alpha y^2-1 \\ 2\alpha y\ln(z)-x & \alpha y^2/z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y'\\z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -e^{x}\\y-2x \end{pmatrix} $$In der Aufgabenstellung wird nun gefordert, dass \(y'(0)=-1/2\) und \(z'(0)=1\) ist. Dies und das bekannte Tripel von oben setzt man in die Gleichung ein$$\begin{pmatrix} 2\alpha & \alpha-1 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \implies \alpha = 1$$Das sind zwar zwei Gleichungen für eine Unbekante \(\alpha\), aber in jedem Fall ist die Lösung \(\alpha=1\).
Und damit \(\alpha=\beta=1\).
Gruß Werner
