Beweise mit vollständiger Induktion, dass 9^n+15 durch 24 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Beweise mit vollständiger Induktion, dass für alle n Element N gilt:

9^n+15 ist durch 24 teilbar.

Problem/Ansatz:

Die Annahme und was gezeigt werden soll, habe ich schon. In der Lösung steht a_k+1=9^(k+1)+15=9(9^k+15)-120, was durch 24 teilbar sein soll, ich verstehe aber nicht, warum das sein sollte.

Answer 1

Falls   a_n =  9ⁿ + 15  durch 24 teilbar ist  (für eine natürliche Zahl n mit n≥1).

dann gilt:

  a_n+1 = 9ⁿ⁺¹ + 15  = 9 · 9ⁿ + 15 =  9 · 9ⁿ + 135 - 120  =  9 · (9ⁿ + 15) - 120

Da der Klammerterm im letzten Term nach Induktionsvoraussetzung durch 24 teilbar ist und ferner  120 = 5 · 24 , folgt, dass auch a_n+1  durch 24 teilbar sein muss.

Damit ist der "Induktionsschritt" erwiesen.

Sofort klar ist natürlich auch, dass die Behauptung für  n=1  gilt, denn

    a₁ = 9¹ + 15 = 9+15 = 24  = 24 · 1 .

Answer 2

Hallo,

nach Induktionsannahme ist \(a_n=9^n+15\) durch \(24\) teilbar. Also gibt es ein \(m\in \Z\) mit \(9^n+15=24\cdot m\).

Induktionsschritt:

$$ a_{n+1}=9^{n+1}+15\\=9\cdot 9^n+15=9\cdot 9^n+120-120+15\\=9\cdot 9^n+135-120=9\cdot (9^n+15)-120\\\stackrel{(IA)}{=}9\cdot 24\cdot m-120=9\cdot 24\cdot m -5\cdot 24\\=24\cdot (9\cdot m-5)=24\cdot z$$

Also gibt es auch für \(a_{n+1}\)  eine Zahl \(z\in\Z\) mit \(a_{n+1}=24\cdot z\).

Comments

Wenn du ein paar Zeilenumbrüche einbaust, ist es leichter zu lesen.

Answer 3

Aus Spaß noch eine Lösung ohne vollst. Induktion:

\(9^n+15\) ist offenbar durch 3 teilbar.

Ich zeige nun, dass diese Zahl auch durch 8 teilbar ist.

Dann ist sie auch durch \(3\cdot 8=24\) teilbar:

\(9^n+15=(1+8)^n+2\cdot 8-1=1+8\cdot(\cdots)+8\cdot 2-1=8\cdot(\cdots+2)\)

Comments

Hallo ermanus:

Ist jetzt da in deiner Rechnung wirklich keine vollständige Induktion drin ??

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Bestenfalls in \((1+8)^n\equiv 1\) mod \(8\) ;-)