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Aufgabe:

Beweise mit vollständiger Induktion, dass für alle n Element N gilt:

9n+15 ist durch 24 teilbar.


Problem/Ansatz:

Die Annahme und was gezeigt werden soll, habe ich schon. In der Lösung steht a_k+1=9^(k+1)+15=9(9k+15)-120, was durch 24 teilbar sein soll, ich verstehe aber nicht, warum das sein sollte.

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Falls   an =  9n + 15  durch 24 teilbar ist  (für eine natürliche Zahl n mit n≥1).

dann gilt:

  an+1 = 9n+1 + 15  = 9 · 9n + 15 =  9 · 9n + 135 - 120  =  9 · (9n + 15) - 120

Da der Klammerterm im letzten Term nach Induktionsvoraussetzung durch 24 teilbar ist und ferner  120 = 5 · 24 , folgt, dass auch an+1  durch 24 teilbar sein muss.

Damit ist der "Induktionsschritt" erwiesen.

Sofort klar ist natürlich auch, dass die Behauptung für  n=1  gilt, denn

    a1 = 91 + 15 = 9+15 = 24  = 24 · 1 .

Avatar von 3,9 k
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Hallo,

nach Induktionsannahme ist an=9n+15a_n=9^n+15 durch 2424 teilbar. Also gibt es ein mZm\in \Z mit 9n+15=24m9^n+15=24\cdot m.

Induktionsschritt:

an+1=9n+1+15=99n+15=99n+120120+15=99n+135120=9(9n+15)120=(IA)924m120=924m524=24(9m5)=24z a_{n+1}=9^{n+1}+15\\=9\cdot 9^n+15=9\cdot 9^n+120-120+15\\=9\cdot 9^n+135-120=9\cdot (9^n+15)-120\\\stackrel{(IA)}{=}9\cdot 24\cdot m-120=9\cdot 24\cdot m -5\cdot 24\\=24\cdot (9\cdot m-5)=24\cdot z

Also gibt es auch für an+1a_{n+1}  eine Zahl zZz\in\Z mit an+1=24za_{n+1}=24\cdot z.

Avatar von 15 k

Wenn du ein paar Zeilenumbrüche einbaust, ist es leichter zu lesen.

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Aus Spaß noch eine Lösung ohne vollst. Induktion:

9n+159^n+15 ist offenbar durch 3 teilbar.

Ich zeige nun, dass diese Zahl auch durch 8 teilbar ist.

Dann ist sie auch durch 38=243\cdot 8=24 teilbar:

9n+15=(1+8)n+281=1+8()+821=8(+2)9^n+15=(1+8)^n+2\cdot 8-1=1+8\cdot(\cdots)+8\cdot 2-1=8\cdot(\cdots+2)

Avatar von 29 k

Hallo ermanus:

Ist jetzt da in deiner Rechnung wirklich keine vollständige Induktion drin ??

Bestenfalls in (1+8)n1(1+8)^n\equiv 1 mod 88 ;-)

Ein anderes Problem?

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