Warum kann bei der Lösung des LGS nicht erste Ableitung als Funktion genommen werden?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich hatte eine Minifrage zum Auflösen eines Gleichungssystems mit 5 Unbekannten. Könnt ihr mir nur erklären, warum ich nicht die Gleichung \( f^{\prime}(0)=d \) einsetzen kann bei den 5 Gleichungen, die ich in das LGS einsetzen würde? Weil mit der Gleichung f(0)=e=0 bin ich genau auf mein Ergebnis gekommen, aber eigentlich sind doch bei beiden Gleichungen alle Koeffizienten 0 außer dann e und d, und auch y ist bei beiden 0. Also für mich macht es keinen Unterschied, oder?

\( \begin{array}{ll}f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e & \text { HP }(-1 / 2) \\ f '(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d & \text { TP }(0 \mid 0) \\ f ''(x)=12 a x^{2}+6 b x+2 c & \text { HP }(1 \mid z) \\ f(-1)=a+(-b)+c-d+e=2 & \\ f(0)=e=0 & \\ f(-1)=a+b+c+d+e=2 & \\ f^{\prime}(-1)=-4 a+3 b-2 c+d=0 \\ f^{\prime}(0)=d=0 \\ f^{\prime}(x)=4 a+3 b+2 c+d=0 \\ f(x)=-2 x^{4}+4 x^{2}\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich wäre euch unendlich dankbar, falls ihr mir noch heute Abend antworten könntet :>

Comments

Also mein Taschenrechner meinte, dass es unendlich viele Lösungen gibt für die Gleichung mit d, wenn diese mitberechnet wird

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Also mein Taschenrechner meinte, dass es unendlich viele Lösungen gibt für die Gleichung mit d, wenn diese mitberechnet wird

Mein Taschenrechner (TI Nspire CX) macht mit diesen Funktionen

und dem zugehörigen linearen Gleichungssystem dies:

Die fünfte Bedingung \(f(x)=z\) habe ich aus den Angaben übernommen.

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Vlt. könnte ein Moderator das unsinnige z korrigieren.

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Na, \(\textrm{HP}(1\vert z)\) macht die Aufgabe deutlich interessanter.

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Dann liegt Moliets falsch?

Achsensymetrisch zur y-Achse

Glaubst du wirklich, dass da ein z steht?

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Auch mit dem \(z\) folgt die Symmetrie zur y-Achse.

Im übrigen ist es so: Mit geeigneten Vorüberlegungen, \(z\) hin oder her, lässt sich der Ansatz auf $$f(x)=a\cdot x^4 + c\cdot x^2$$ vereinfachen und das entstehende LGS kann im Kopf gelöst werden.

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Im übrigen ist es so: Mit geeigneten Vorüberlegungen

Wieder diese ominöse GEEIGNET.

Will sagen, darauf kommt nur der Erfahrene,oder?

Answer 1

Du stellst die Bedingungen doch nach der Aufgabenstellung auf. Ohne die genaue Aufgabenstellung zu kennen ist es schlecht zu helfen.

Comments

Ja stimmt die Frage war echt kompliziert gestellt. Wir sollten eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion aufstellen, die in diesem Fall die 4 Grades war. Dabei waren die Hochpunkte (-1,2) und (1,2) gegeben sowie der Tiefpunkt (0,0). Außerdem sieht man dass die Funktion negativ nach unten verläuft und dann die Steigung von der Funktion negativ sein muss

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Das macht Sinn. Als erstes würde ich dir den Steckbriefaufgabenrechner https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle empfehlen

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

Eigenschaften

f(0) = 0 --> f = 0
f'(0) = 0 --> e = 0
f(-1) = 2 --> -a + b - c + d - e + f = 2
f'(-1) = 0 --> 5a - 4b + 3c - 2d + e = 0
f(1) = 2 --> a + b + c + d + e + f = 2
f'(1) = 0 --> 5a + 4b + 3c + 2d + e = 0

Wenn man das Gleichungssystem löst erhält man folgende Funktion

f(x) = -2·x^4 + 4·x^2

Man könnte auch direkt die Symmetrie an den Bedingungen erkennen und dann als Ansatz direkt

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

nehmen. Dann braucht man nur drei Bedingungen und es geht noch ein klein Tick schneller.

Answer 2

Ein ziemliches Durcheinander was Du da aufgeschrieben hast.

Das GLS:={f(0)=0, f'(0)=0, f(-1)=2, f'(-1)=0, f'(1)=0}

führt auf

\(   \left(\begin{array}{r}a_0\\a_1\\a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4\\a_1 - 2 \; a_2 + 3 \; a_3 - 4 \; a_4\\a_1 + 2 \; a_2 + 3 \; a_3 + 4 \; a_4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\0\\2\\0\\0\\\end{array}\right)   \)

Indizes entsprechend der Potenz

was auf ein 3x3 LGS hinausläuft - da sieht man dann auch a₃=0

Answer 3

, aber eigentlich sind doch bei beiden Gleichungen alle Koeffizienten 0 außer dann e und d, und auch y ist bei beiden 0

TP(0/0) macht e und d zu Null. Du brauchst also Gleichungen um das ermitteln.

f(0)= 0 -> e= 0

f '(x) =0  -> d= 0

Du hast Fehler in deinen Gleichungen:

Nach f(x) kommt f '(x) , dann f ''(x). Es fehlt jeweils ein Strichlein!

Du bist zuwenig "auf den Strich"gegangen. Du hast zwei Kunden im Straßenregen stehen lassen. :))

PS:

Steht da wirklich ein z in HP(1/z) ?

Damit hast du 6 Unbekannte.

Answer 4

\(H_1(-1|2)\) ,\( H_2(1|2)\) gegeben sowie \(T(0|0)\)

Achsensymetrisch zur y-Achse

Ich verschiebe um 2 Einheiten nach unten:

\(H´_1(-1|0)\) ,\( H´_2(1|0)\) gegeben sowie \(T´(0|-2)\)

\(f(x)=a*(x+1)^2*(x-1)^2\)

\(T´(0|-2)\):

\(f(0)=a*(0+1)^2*(0-1)^2=a=-2\)

\(f(x)=-2*(x+1)^2*(x-1)^2\)

wieder 2 Einheiten nach oben:

\(p(x)=-2*(x+1)^2*(x-1)^2+2\)

Answer 5

Eine Polynomfunktion 4. Grades mit den Eigenschaften HP(-1|2), HP(1|z) und TP(0|0) kann nur achsensymmetrisch zur y-Achse sein;

Der Ansatz wäre dann f(x)=ax²(x²-b²). Dann ist f '(x)=2ax(2x²-b²). Das Einsetzen von HP(-1|2) in die Funktionsgleichung und f '(1)=0 in die Ableitung führt dann zu zwei Bestimmungsgleichungen für a und b.

Answer 6

Wir sollten eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion aufstellen, die in diesem Fall die 4 Grades war. Dabei waren die Hochpunkte (-1,2) und (1,2) gegeben sowie der Tiefpunkt (0,0).

 \(\text { HP }(-1 / 2) \\  \text { TP }(0 \mid 0) \\  \text { HP }(1 \mid 2) \)

\( \begin{array}{ll}f(x)&=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e & \\ f '(x)&=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d &  \\ f ''(x)&=12 a x^{2}+6 b x+2 c &  \\[3mm] f(0)&=e=0 & \\f^{\prime}(0)&=d=0 \\[3mm] f(-1)&=a+(-b)+c=2 &  \\ f(1)&=a+b+c=2 & \\ f^{\prime}(-1)&=-4 a+3 b-2c =0 \\  f^{\prime}(1)&=4 a+3 b+2 c=0\end{array} \)

Die Addition der letzten beiden ergibt b=0.

Es bleiben übrig

a+c=2

4a+2c=0 → c=-2a

a-2a=2 → a=-2, c=4

$$ f(x)=-2x^4+2x^2$$

:-)