Nullstellen von f(x)=x-1*e^x auf 4 Dezimalen gerundet bestimmen

Question

Eine Aufgabe aus meiner Klausur, die ich nicht lösen konnte:

 

Gegeben sei die Funktionenschar f_k mir f_k(x) = x - k * e^x mit beliebigem k ≠ 0.

 

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f₁(x) auf 4 Dezimalen gerundet.

 

b) Zeigen Sie, dass die Hochpunkte der Funktionenschar f_k(x) auf der Geraden mir der Gleichung y=x-1 liegen.

 

Für Aufgabenteil b habe ich schon die Hochpunkte berechnet: HP( ln 1/2  //  (-k/2) - ln 2)

Comments

Für Aufgabenteil a, komme ich nachdem Nullsetzen und Umstellen der Gleichung auf x = ln x.

Da dies ein Widerspruch ist, dürfte doch eigentlich keine Nullstelle vorliegen. Aber falls das so wäre, warum sollte mein Lehrer dann ein Ergebnis, das nach 4 Dezimalen gerundet ist, verlangen?

---

a) f1(x) = x -  e^x  = 0

x = e^x

Da hast du in der Tat Recht: Vgl. grüne, rote und blaue Kurve

Meint dein Lehrer vielleicht fk(x) = (x-k)*e^x ?

Die violette Kurve wäre f1(x) = (x-1)*e^x

EDIT: ist r^x in der Überschrift ein Druckfehler?

---

r^x isr ein Druckfehler, tut mir Leid. Die Beschreibung ist richtig. Ich hatte auch vermutet, dass da eine Klammer hin muss. Dann wäre x ganz einfach 1, da somit der erste Faktor 0 wäre. Aber selbst dann wäre es unlogisch auf 4 Dezimalen zu runden. Die Klammer stehen aber nicht in der Aufgabe. Könnte es sein, dass mich der Lehrer damit verwirren wollte? Wäre das überhaupt gerechtfertigt?

Vielen Dank für deine Antwort und Grafik!

---

Was dein Lehrer wollte, kann niemand beurteilen. Klammern können sogar beim Ausdrucken eines pfd-Dokuments auf mysteriöse Weise verschwinden.
Er will vielleicht einfach nicht verraten, dass das Resultat falsch ist, wenn einer 3.24 rausbekommt.

Answer 1

f_k(x) = x - k * e^x

f '_k(x) = 1 - k*e^x = 0

1 = k*e^x

1/k = e^x

ln(1/k) = x    resp. k = e^{-x}      

Beides in f_k(x) = x - k * e^x einsetzen:

Ortslinie der Hochpunkte y = x - e^{-x} * e^x = x-1

ist eine Gerade.

Menge der Hochpunkte:

f_k(ln(1/k)) = ln(1/k) - k * ln(1/k) = -lnk + k*lnk = (k-1)lnk 

H_k ( -lnk | (k-1)lnk)  

Bitte nachrechnen. (H_k ist aber mE gar nicht verlangt)

Comments

Ich komme auf das selbe Ergebnis. Vielen Dank für die schnelle Hilfe! :)

Answer 2

  Dies dürfte die Ausgangsfunktion sein

  f_k ( x ) = x - k * e^x

  Ich ziehe die Aufgabe b.) vor
  " Ortskurve der Hochpunkte "

  f ´ ( x ) = 1 - k * e^x
  Extrempunkt
  f ´( x ) = 0
  1 - k * e^x = 0
  k * e^x = 1
  e^x = 1 / k
  x = ln (1 / k )
  x = - ln ( k )
  eingesetzt
  f  [ - ln ( k ) ] = -ln ( k ) - k * e^{-ln[k]}
  f  [ - ln ( k ) ] = - ln( k ) - 1
  E ( -ln ( k )  l - ln ( k ) - 1 )
  Ortskurve
  x = - ln ( k )
  - ln ( k ) = x
  y = - ln ( k ) - 1
  ort ( x ) = x - 1
  Der Nachweis für b.) wurde erbracht.

a.)   f_k ( x ) = x - k * e^x
Nullstellen : für f₁
 x - e^x = 0
Kann eigentlich nur mit z.B. dem Newtonschen
Nährungsverfahren gelöst werden.
Mein Matheprogramm zeigt mir an das es
keine Nullstelle gibt.
Hier muss ich nocheinmal in Ruhe nachschauen.
Habe in Ruhe nachgeschaut. Extremwert liegt
bei ( 0 l -1 ) Hochpunkt.
Es gibt keine Nullstelle.

  mfg Georg